Question

15．在平面直角坐標系xoy中，點P是直線3x+4y+3=0上的動點，過點P作圓C：x²+y²-2x-2y+1=0的兩條切線，切點分別是A，B，則|AB|的取值范圍為[$\sqrt{3}$，2）．

Answer 1

分析 利用直線和圓的位置關系，求出兩個極端位置|AB|的值，即可得到結論．

解答 解：圓心C（1，1），半徑R=1，要使AB長度最小，則∠ACB最小，即∠PCB最小，
即PC最小即可，由點到直線的距離公式可得d=$\frac{|3+4+3|}{5}$=2
則∠PCB=60°，∠ACB=120°，即|AB|=$\sqrt{3}$，
當點P在3x+4y+3=0無限遠取值時，∠ACB→180°，
此時|AB|→直徑2，
故$\sqrt{3}$≤|AB|＜2，
故答案為：[$\sqrt{3}$，2）．

點評 本題主要考查直線和圓相切的性質的應用，考查點到直線的距離公式．綜合性較強，有一定的難度．