Question

8．如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為4，動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)在棱A₁B₁上，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在棱AB，CD上，若EF=2，現(xiàn)有以下五種說(shuō)法：
①四面體PEFQ的體積與P，Q點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)
②△EFQ的面積為定值
③四面體PEFQ的體積與點(diǎn)P的位置有關(guān)，與點(diǎn)Q的位置無(wú)關(guān)
④四面體PEFQ的體積為正方體體積的$\frac{1}{12}$
⑤點(diǎn)P到平面EFQ的距離隨著P的變化而變化
其中正確的序號(hào)是①②④．

Answer 1

分析 由長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征可知△EFP的面積為定值，Q到平面ABB₁A₁的距離為定值4，計(jì)算出四面體的體積和正方體的體積進(jìn)行判斷．

解答 解：∵CD∥平面EFP，∴Q到平面EFP的距離等于D到平面EFP的距離AD=4．
而S_△EFP=$\frac{1}{2}EF×A{A}_{1}$=$\frac{1}{2}×2×4$=4．
∴V_Q-EFP=$\frac{1}{3}{S}_{△EFP}•AD$=$\frac{1}{3}×4×4$=$\frac{16}{3}$．
∵正方體體積V_正方體=4³=64，∴V_Q-EFP=$\frac{1}{12}$V_正方體．
故①正確，③錯(cuò)誤，④正確．
∵CD∥A₁B₁，∴Q到直線A₁B₁的距離h為定值，而EF為定值，故△EFQ的面積為定值，故②正確．
又∵四面體PEFQ的體積為定值，∴點(diǎn)P到平面EFQ的距離為定值，故⑤錯(cuò)誤．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征，棱錐的體積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．