Question

15．數(shù)列{a_n}是以a為首項，q為公比的等比數(shù)列，數(shù)列{b_n}滿足b_n=1+a₁+a₂+…+a_n（n=1，2，…），數(shù)列{c_n}滿足c_n=2+b₁+b₂+…+b_n（n=1，2，…）．若{c_n}為等比數(shù)列，則a+q=（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． 3
• C． $\sqrt{5}$
• D． 6

Answer 1

分析 由題意求得數(shù)列{b_n}的通項公式，代入即可求得數(shù)列{c_n}的通項公式，根據(jù)等比數(shù)列通項公式的性質(zhì)，即可求得a和q的值，求得a+q的值．

解答 解：數(shù)列{a_n}是以a為首項，q為公比的等比數(shù)列，a_n=aq^n-1，
則b_n=1+a₁+a₂+…+a_n=1+$\frac{a（1-{q}^{n}）}{1-q}$=1+$\frac{a}{1-q}$-$\frac{a{q}^{n}}{1-q}$，
則c_n=2+b₁+b₂+…+b_n=2+（1+$\frac{a}{1-q}$）n-$\frac{a}{1-q}$×$\frac{q（1-{q}^{n}）}{1-q}$=2-$\frac{aq}{（1-q）^{2}}$+$\frac{1-q+a}{1-q}$n+$\frac{a{q}^{n+1}}{（1-q）^{2}}$，
要使{c_n}為等比數(shù)列，則$\left\{\begin{array}{l}{2-\frac{aq}{（1-q）^{2}}=0}\\{\frac{1-q+a}{1-q}=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{q=1}\end{array}\right.$，
∴a+q=3，
故選B．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．