Question

13．已知斜率為1的直線l與圓心為O₁（1，0）的圓相切于點(diǎn)P，且點(diǎn)P在y軸上．
（Ⅰ）求圓O₁的方程；
（Ⅱ）若直線l′與直線l平行，且圓O₁上恰有四個(gè)不同的點(diǎn)到直線l′的距離等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求直線l′縱截距的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)P的坐標(biāo)為（0，t），由題目條件即可得出結(jié)論；
（Ⅱ）設(shè)出l′：y=x+b，由O₁上恰有四個(gè)不同的點(diǎn)到直線l′的距離等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即可得出答案．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得，設(shè)P的坐標(biāo)為（0，t），
∵O₁P⊥l，
∴$\frac{t-0}{0-1}$=-1，∴t=1，
即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，1），
從而圓O₁的半徑r=|O₁P|=$\sqrt{2}$，
故所求圓O₁的方程為（x-1）²+y²=2；
（Ⅱ）∵l∥l′，∴設(shè)l′：y=x+b，
由圓O₁上恰有四個(gè)點(diǎn)到直線l′距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
得圓心到直線y=x+b的距離d=$\frac{|1+b|}{\sqrt{2}}$$＜\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得-2＜b＜0，
即直線l′縱截距的取值范圍為（-2，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的切線，根據(jù)圓的性質(zhì)，屬于中檔題．