Question

12．請推導等差數(shù)列及等比數(shù)列前n項和公式．

Answer 1

分析 利用倒序相加法能證明等差數(shù)列的前n項和公式，利用錯位相減法能證明等比數(shù)列的前n項和公式．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）等差數(shù)列{a_n}中，a_n=a₁+（n-1）d，
S_n=a₁+（a₁+d）+（a₁+2d）+…+[a₁+（n-3）d]+[a₁+（n-2）d]+[a₁+（n-1）d]，①
S_n=[a₁+（n-1）d]++[a₁+（n-2）d]+[a₁+（n-3）d]+…+（a₁+2d）+（a₁+d）+a₁，②
①+②，得：
2S_n=2na₁+n（n-1）d，
∴等差數(shù)列前n項和公式${S}_{n}=n{a}_{1}+\frac{n（n-1）}{2}d$．
（2）在等比數(shù)列{a_n}中，${a}_{n}={a}_{1}{q}^{n-1}$，
當q=1時，a_n=a₁，S_n=na₁，
當q≠1時，${S}_{n}={a}_{1}+{a}_{1}q+{a}_{1}{q}^{2}+…+{a}_{1}{q}^{n-1}$，③
qS_n=${a}_{1}q+{a}_{1}{q}^{2}+{a}_{1}{q}^{3}+…+{a}_{1}{q}^{n-1}+{a}_{1}{q}^{n}$，④
③-④，得：
（1-q）S_n=${a}_{1}-{a}_{1}{q}^{n}$，
∴S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$．

點評 本題考查等差數(shù)列及等比數(shù)列前n項和公式的證明，是基礎題，解題時要認真審題，注意倒序相加法和錯位相減法的合理運用．