Question

7．已知函數(shù)f（x）=|x-2|．
（1）求不等式f（x）≤5-|x-1|的解集；
（2）若函數(shù)g（x）=$\frac{1}{x}$-f（2x）-a的圖象在（$\frac{1}{2}$，+∞）上與x軸有3個(gè)不同的交點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把原不等式去掉絕對(duì)值，轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的三個(gè)不等式組，分別求得每個(gè)不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（2）由題意可得，函數(shù)h（x）=$\frac{1}{x}$-|2x-2|=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x}-2x+2，x≥1}\\{\frac{1}{x}+2x-2，\frac{1}{2}＜x＜1}\end{array}\right.$的圖象和直線y=a 在（$\frac{1}{2}$，+∞）上有3個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可得a的范圍．

解答 解：（1）不等式f（x）≤5-|x-1|，即|x-2|≤5-|x-1|，即|x-2|+|x-1|≤5，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＜1}\\{2-x+1-x≤5}\end{array}\right.$①；或$\left\{\begin{array}{l}{1≤x≤2}\\{2-x+（x-1）≤5}\end{array}\right.$②；或 $\left\{\begin{array}{l}{x＞2}\\{x-2+x-1≤5}\end{array}\right.$．
解①求得-1≤x＜1，解②求得1≤x≤2，解求得 2＜x≤4，
綜上可得，原不等式的解集為{x|-1≤x≤4}．
（2）若函數(shù)g（x）=$\frac{1}{x}$-f（2x）-a的圖象在（$\frac{1}{2}$，+∞）上與x軸有3個(gè)不同的交點(diǎn)，
則方程 $\frac{1}{x}$-f（2x）=a在（$\frac{1}{2}$，+∞）上有3個(gè)解，
即函數(shù)h（x）=$\frac{1}{x}$-|2x-2|=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x}-2x+2，x≥1}\\{\frac{1}{x}+2x-2，\frac{1}{2}＜x＜1}\end{array}\right.$的圖象和直線y=a 在（$\frac{1}{2}$，+∞）上有3個(gè)交點(diǎn)．
當(dāng)$\frac{1}{2}$＜x＜1時(shí)，f（x）=$\frac{1}{x}$+2x-2≥2$\sqrt{2}$-2，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{1}{x}$=2x，即x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)，等號(hào)成立．
再根據(jù)f（$\frac{1}{2}$）=1=f（1），當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）=$\frac{1}{x}$-2x+2單調(diào)遞減，如圖所示：
故a的取值范圍為（2$\sqrt{2}$-2，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，帶有絕對(duì)值的函數(shù)，方程根的存在性以及個(gè)數(shù)判斷，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．