Question

15．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a₁=1，對任意的n∈N^*都有a_n+1=a_n+n+1，則$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2017}}$=（　�。�

• A． $\frac{2016}{2017}$
• B． $\frac{4032}{2017}$
• C． $\frac{4034}{2018}$
• D． $\frac{2017}{2018}$

Answer 1

分析 利用累加法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，代入$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2017}}$，利用裂項(xiàng)相消法求和．

解答 解：由a_n+1=a_n+n+1，得a_n+1-a_n=n+1，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=n+（n-1）+（n-2）+…+2+1=$\frac{n（n+1）}{2}$．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{2}{n（n+1）}=2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
則$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2017}}$=$2（1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{2017}-\frac{1}{2018}）$
=2（1-$\frac{1}{2018}$）=$\frac{4034}{2018}$．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了利用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，訓(xùn)練了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，是中檔題．