Question

3．如圖，正方形ABEF所在平面與梯形ABCD所在平面互相垂直，且AD⊥AB，DC∥AB，AB=2AD=2CD．
（1）求證：DE⊥BF；
（2）若M為BE上的點，CM∥平面DAE，求平面DAE和平面ACM所成銳二面角的大小．

Answer 1

分析 （1）以A為原點，AD為x軸，AB為y軸，AF為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能能證明DE⊥BF．
（2）求出平面ADE的法向量和平面ACM的法向量，利用向量法能求出平面DAE和平面ACM所成銳二面角的大�。�

解答 證明：（1）∵正方形ABEF所在平面與梯形ABCD所在平面互相垂直，且AD⊥AB，
∴AD、AB、AF兩兩垂直，
以A為原點，AD為x軸，AB為y軸，AF為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
∵DC∥AB，設(shè)AB=2AD=2CD=2，
則D（1，0，0），E（0，2，2），B（0，2，0），F(xiàn)（0，0，2），
$\overrightarrow{DE}$=（-1，2，2），$\overrightarrow{BF}$=（0，-2，2），
$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{BF}$=0-4+4=0，
∴DE⊥BF．
解：（2）A（0，0，0），$\overrightarrow{AD}$=（1，0，0），$\overrightarrow{AE}$=（0，2，2），
設(shè)平面ADE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=2y+2z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，-1），
設(shè)M（0，2，t），C（1，1，0），則$\overrightarrow{CM}$=（-1，1，t），
∵CM∥平面DAE，∴$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{n}$=0+1-t=0，t=1．
∴M（0，2，1），$\overrightarrow{AC}$=（1，1，0），$\overrightarrow{AM}$=（0，2，1），
設(shè)平面ACM的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=x+y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AM}=2x+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，-1，-2），
設(shè)平面DAE和平面ACM所成銳二面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}•\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
∴$θ=arccos\frac{\sqrt{3}}{6}$．
∴平面DAE和平面ACM所成銳二面角為arccos$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

點評 本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．