Question

1．設(shè)函數(shù)f（x）=e^x，g（x）=kx+1．
（I）求函數(shù)y=f（x）-（x+1）的最小值；
（II）證明：當(dāng)k＞1時，存在x₀＞0，使對于任意x∈（0，x₀）都有f（x）＜g（x）；
（III）若存在實(shí)數(shù)m使對任意x∈（0，m）都有|f（x）-g（x）|＞x成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最小值即可；
（Ⅱ）設(shè)h（x）=f（x）-g（x），求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，從而證出結(jié)論；
（Ⅲ）通過討論k的范圍，①當(dāng)k＞1時，得到（k-1）x+1-e^x＞0，設(shè)t（x）=（k-1）x+1-e^x，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出k的范圍即可；②當(dāng)k≤1時，等價于e^x-（k+1）x-1＞0，設(shè)φ（x）=e^x-（k+1）x-1，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出k的范圍即可．

解答 解：（I）由已知y=e^x-x-1，∴y'=e^x-1，
設(shè)y'＞0得x＞0，設(shè)y'＜0得x＜0，
∴函數(shù)y=e^x-x-1在（-∞，0）上遞減，在（0，+∞）上遞增，
則當(dāng)x=0時，y有最小值為0…（3分）
（II）證明：設(shè)h（x）=f（x）-g（x），即h（x）=e^x-kx-1，
∴h'（x）=e^x-k，設(shè)h'（x）=0得x=lnk（k＞1），
∵k＞1，∴當(dāng)x∈（0，lnk）時，h'（x）＜0，
即h（x）在（0，lnk）上單調(diào)遞減，
而h（0）=0，且h（x）是R上的連續(xù)函數(shù)，
∴h（x）＜0在（0，lnk）上恒成立，
即f（x）＜g（x）在（0，lnk）上恒成立，
∴取0＜x₀≤lnk，則對任意x∈（0，x₀）都有f（x）＜g（x）…（7分）
（III）①當(dāng)k＞1時，由（II）知存在x₀＞0，
使對于任意x∈（0，x₀）都有f（x）＜g（x），
則不等式|f（x）-g（x）|＞x
等價于g（x）-f（x）＞x，即（k-1）x+1-e^x＞0，
設(shè)t（x）=（k-1）x+1-e^x，t'（x）=k-1-e^x，
設(shè)t'（x）＞0得x＜ln（k-1），設(shè)t'（x）＜0得x＞ln（k-1），
若1＜k≤2，ln（k-1）≤0，
∵（0，x₀）?（ln（k-1），+∞），
∴t（x）在（0，x₀）上遞減，注意到t（0）=0，
∴對任意x∈（0，x₀），t（x）＜0，與題設(shè)不符，
若k＞2，ln（k-1）＞0，（0，ln（k-1））?（-∞，ln（k-1）），
∴t（x）在（0，ln（k-1））上遞增，
∵t（0）=0，∴對任意x∈（0，ln（k-1）），t（x）＞0符合題設(shè)，
此時取0＜m≤min{x₀，ln（k-1）}，
可得對任意x∈（0，m）都有|f（x）-g（x）|＞x…（10分）
②當(dāng)k≤1時，由（I）知e^x-（x+1）≥0，
f（x）-g（x）=e^x-kx-1=e^x-（x+1）+（1-k）x≥（1-k）x≥0，
對任意x＞0都成立，∴|f（x）-g（x）|＞x等價于e^x-（k+1）x-1＞0，
設(shè)φ（x）=e^x-（k+1）x-1，
則φ'（x）=e^x-（k+1），
若k≤0，即有k+1≤1，∴對任意正數(shù)x，φ'（x）＞0，
∴φ（x）在（0，+∞）上遞增，
∵φ（0）=0，∴φ（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，
此時，m可取任意正數(shù)都符合題設(shè)，
若0＜k≤1，設(shè)φ'（x）＞0得x＞ln（k+1）＞0，
設(shè)φ'（x）＜0得x＜ln（k+1），
∴φ（x）在（0，ln（k+1））上遞減，注意到φ（0）=0，
∴對任意x∈（0，ln（k+1）），φ（x）＜0，不符合題設(shè)…（13分）
綜上所述，滿足題設(shè)條件的k的取值范圍為{k|k≤0或k＞2}…（14分）

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以函數(shù)恒成立問題，考查分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．