Question

15．設(shè)函數(shù)f（x）=b+ax-e^x，其中a，b為實數(shù)，e=2.71828…．
（Ⅰ）當(dāng)b=0時，求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上的最大值；
（Ⅲ）若函數(shù)g（x）=f（x）+$\frac{1}{2}$ax²+（b-a）x-b+1，g（1）=0，且g（x）在（0，1）內(nèi)有零點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計算，f（0），f′（0），求出切線方程即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最大值即可；
（Ⅲ）求出導(dǎo)數(shù)，g（1）=0，可得b=e-$\frac{1}{2}$a-1，得到g（x）=$\frac{1}{2}$ax²+（e-$\frac{1}{2}$a-1）x-e^x+1，結(jié)合（Ⅱ）運用函數(shù)零點存在定理，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可得到所求范圍．

解答 解：（Ⅰ）b=0時，f（x）=ax-e^x，f′（x）=a-e^x，
f（0）=-1，f′（0）=a-1，
故切線方程是：y+1=（a-1）x，
即y=（a-1）x-1；
（Ⅱ）f′（x）=a-e^x，
a≤0時，f′（x）＜0，f（x）在[0，1]遞減，f（x）_max=f（0）=b-1；
a＞0時，令f′（x）=0，解得：x=lna，
令f′（x）＞0，解得：x＜lna，令f′（x）＜0，解得：x＞lna，
f（x）在（-∞，lna）遞增，在（lna，+∞）遞減，
①lna≤0即0＜a≤1時，f（x）在[0，1]遞減，f（x）_max=f（0）=b-1；
②0＜lna＜1即1＜a＜e時，f（x）在[0，lna）遞增，在（lna，1]遞減，
f（x）_max=f（lna）=b-a+alna，
③lna≥1即a≥e時，f（x）在[0，1]遞增，
f（x）_max=f（1）=b+a-e；
綜上，a≤1時，f（x）_max=b-1，
1＜a＜e時，f（x）_max=b-a+alna，
a≥e時，f（x）_max=b+a-e；
（Ⅲ）g（x）=$\frac{1}{2}$ax²+bx-e^x+1，
由g（1）=0，可得b=e-$\frac{1}{2}$a-1，
∴g（x）=$\frac{1}{2}$ax²+（e-$\frac{1}{2}$a-1）x-e^x+1，
∴g′（x）=ax+（e-$\frac{1}{2}$a-1）-e^x，又g（0）=0．
若函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)有零點，
設(shè)x₀為g（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)的一個零點，
則由g（0）=g（x₀）=0可知，
g（x）在區(qū)間（0，x₀）內(nèi)不可能單調(diào)遞增，也不可能單調(diào)遞減，
則g′（x）在區(qū)間（0，x₀）內(nèi)不可能恒為正，也不可能恒為負．
故g′（x）在區(qū)間（0，x₀）內(nèi)存在零點x₁．同理g′（x）在區(qū)間（x₀，1）內(nèi)存在零點x₂．
故函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)至少有三個單調(diào)區(qū)間，
g′（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)至少有兩個零點，
g″（x）=a-e^x，
由（Ⅱ）知當(dāng)a≤1或a≥e時，函數(shù)g′（x）在區(qū)間[0，1]內(nèi)單調(diào)，
不可能滿足“函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)至少有三個單調(diào)區(qū)間”這一要求．
若1＜a＜e，此時g′（x）在區(qū)間（0，lna）內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間（lna，1）內(nèi)單調(diào)遞減．
因此x₁∈（0，lna），x₂∈（lna，1），
由g′（x）_max=g′（lna）=（$\frac{a}{2}$+e-1）lna-a+1，
不妨令h（x）=（$\frac{x}{2}$+e-1）lnx-x+1，（1＜x＜e），
則h′（x）=$\frac{1}{2}$lnx+$\frac{e-1}{x}$-$\frac{1}{2}$，h″（x）=$\frac{{x}^{2}-2（e-1）}{{2x}^{2}}$，
令h″（x）＞0，解得：x＞$\sqrt{2（e-1）}$，令h″（x）＜0，解得：x＜$\sqrt{2（e-1）}$，
∴h′（x）在（1，$\sqrt{2（e-1）}$）遞減，在（$\sqrt{2（e-1）}$，e）遞增，
∴h′（x）_min=h′（$\sqrt{2（e-1）}$）=$\frac{1}{2}$[ln$\sqrt{2（e-1）}$+$\sqrt{2（e-1）}$-1]＞0，
∴h（x）在（1，e）遞增，h（x）＞h（1）=0，即g′（x）_max＞0，
于是，函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)至少有三個單調(diào)區(qū)間，
只需$\left\{\begin{array}{l}{1＜a＜e}\\{g′（1）＜0}\\{g′（e）＜0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{1＜a＜e}\\{a+e-\frac{1}{2}a-1-e＜0}\\{ae+e-\frac{1}{2}a-1{-e}^{e}＜0}\end{array}\right.$，
解得：1＜a＜2；
故滿足條件的a的范圍是（1，2）．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查分類討論的思想方法，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想的運用，屬于難題．