Question

4．如圖為了測(cè)量A，C兩點(diǎn)間的距離，選取同一平面上B，D兩點(diǎn)，測(cè)出四邊形ABCD的各邊的AB=5，BC=8，CD=3，DA=5長度（單位：km）：，如圖所示，若A、B、C、D四點(diǎn)共圓．
求：線段AC的長和△ABC的面積．

Answer 1

分析 利用余弦定理，結(jié)合∠B+∠D=π，即可求出AC的長，再用余弦定理即可求出B的大小，根據(jù)三角形的面積公式即可求出答案

解答 解：∵A、B、C、D四點(diǎn)共圓，圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角和為π．
∴∠B+∠D=π，
∴由余弦定理可得AC²=5²+3²-2•5•3•cosD=34-30cosD，
AC²=5²+8²-2•5•8•cosB=89-80cosB，
∵∠B+∠D=π，即cosB=-cosD，
∴-$\frac{34-A{C}^{2}}{30}$=$\frac{89-A{C}^{2}}{80}$，
∴可解得AC=7．
由余弦定理可得cosB=$\frac{A{B}^{2}+B{C}^{2}-A{C}^{2}}{2AB•BC}$=$\frac{25+64-49}{2×5×8}$=$\frac{1}{2}$，
∴B=60°，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$•BC•|$\overrightarrow{AB}$|•sinB=$\frac{1}{2}$×8×5×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=10$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查余弦定理，考查三角函數(shù)知識(shí)，正確運(yùn)用余弦定理是關(guān)鍵，屬于中檔題