Question

14．已知函數(shù)f（x）=x-2lnx-$\frac{a}{x}$+1，g（x）=e^x（2lnx-x）+b．
（1）若函數(shù)f（x）在定義域上是增函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）若g（x）=0有解，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意先求函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)f′（x）=1-$\frac{2}{x}+\frac{a}{{x}^{2}}$，從而可得a≥2x-x²恒成立（x＞0）；從而解得．
（2）令h（x）=e^x（2lnx-x），h′（x）=e^x（$\frac{2}{x}$-1+2lnx-x），結(jié)合（1）知，當(dāng)a=2時，f（x）=x-2lnx-$\frac{2}{x}$+1，從而可得h（x）在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)，從而求最值，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由題意得x＞0，f′（x）=1-$\frac{2}{x}+\frac{a}{{x}^{2}}$，
由函數(shù)f（x）在定義域上是增函數(shù)得，
f′（x）≥0，即a≥2x-x²=-（x-1）²+1（x＞0）；
因為-（x-1）²+1≤1（當(dāng)x=1時，取等號），
所以a的取值范圍是[1，+∞）．
（2）令h（x）=e^x（2lnx-x），h′（x）=e^x（$\frac{2}{x}$-1+2lnx-x），
由（1）得a=2時，f（x）=x-2lnx-$\frac{2}{x}$+1，
且f（x）在定義域上是增函數(shù)及f（1）=0，
所以，當(dāng)x∈（0，1）時，f（x）＜0，
當(dāng)x∈（1，+∞）時，f（x）＞0．
所以，當(dāng)x∈（0，1）時，h′（x）＞0，當(dāng)x∈（1，+∞）時，h′（x）＜0．
h（x）在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)，
故x=1時，h（x）取得最大值h（1）=-e．
∵g（x）=0有解，∴b≥e．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問題與最值問題，屬于中檔題．