Question

6．如圖，一條巡邏船由南向北行駛，在A處測得山頂P在北偏東15°（∠BAC=15°）方向上，勻速向北航行20分鐘到達B處，測得山頂P位于北偏東60°方向上，此時測得山頂P的仰角60°，若山高為$2\sqrt{3}$千米，
（1）船的航行速度是每小時多少千米？
（2）若該船繼續(xù)航行10分鐘到達D處，問此時山頂位于D處的南偏東什么方向？

Answer 1

分析 （1）解△BCP，利用BCP中，$tan∠PBC=\frac{PC}{BC}⇒BC=2$，在△ABC中，由正弦定理求得；
（2）利用正弦定理和余弦定理，分別解△BCD，求得∠CDB．

解答 解：（1）在△BCP中，$tan∠PBC=\frac{PC}{BC}⇒BC=2$
在△ABC中，由正弦定理得：$\frac{BC}{sin∠BAC}=\frac{AB}{sin∠BCA}⇒\frac{2}{{sin{{15}^0}}}=\frac{AB}{{sin{{45}^0}}}$，
所以$AB=2（\sqrt{3}+1）$，
船的航行速度是每小時$6（\sqrt{3}+1）$千米．
（2）在△BCD中，由余弦定理得：$CD=\sqrt{6}$，
在△BCD中，由正弦定理得：$\frac{CD}{sin∠DBC}=\frac{B}{sin∠CDB}⇒sin∠CDB=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
所以，山頂位于D處南偏東135⁰．

點評 本題考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，關鍵是將實際問題轉化為解三角形的問題，屬于中檔題．