Question

7．在正項等差數(shù)列{a_n}中a₁和a₄是方程x²-10x+16=0的兩個根，若數(shù)列{log₂a_n}的前5項和為S₅且S₅∈[n，n+1]，n∈Z，則n=11．

Answer 1

分析 推導出a_n=2n，從而log₂a_n=log₂（2n）=1+log₂n，進而S₅=5+log₂1+log₂2+log₂3+log₂4+log₂5=8+log₂15，由此能求出結果．

解答 解：∵在正項等差數(shù)列{a_n}中a₁和a₄是方程x²-10x+16=0的兩個根，
∴a₁＜a₄，解方程得：a₁=2，a₄=8，d=$\frac{8-2}{4-1}$=2，
∴a_n=2+（n-1）×2=2n，
∴l(xiāng)og₂a_n=log₂（2n）=1+log₂n，
數(shù)列{log₂a_n}的前5項和為S₅且S₅∈[n，n+1]，n∈Z，
∴S₅=5+log₂1+log₂2+log₂3+log₂4+log₂5=8+log₂15∈[11，12]，
∴n=11．
故答案為：11．

點評 本題考查實數(shù)值的求法，考查等差數(shù)列性質，考查韋達定理、考查對數(shù)性質及運算法則，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸轉化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．