分析 (1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),結(jié)合切線方程求出k的值,解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;
(2)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為$k≥-{x^2}+x=-{({x-\frac{1}{2}})^2}+\frac{1}{4}({x>0})$恒成立,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出k的范圍即可.
解答 解:(1)由$f(x)=lnx+\frac{k}{x}$,知x>0,且$f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{k}{x^2}({x>0})$,…(1分)
因?yàn)榍y=f(x)在點(diǎn)(e,f(e))處的切線與直線x=2垂直,所以f'(e)=0,
所以$\frac{1}{e}-\frac{k}{e^2}=0$,得k=e,…(3分)
所以$f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{e}{x^2}=\frac{x-e}{x^2}({x>0})$,
令f'(x)<0,得0<x<e,f(x)在(0,e)上單調(diào)遞減;
令f'(x)>0,得x>e,f(x)在(e,+∞)上單調(diào)遞增,
綜上,f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0,e),單調(diào)增區(qū)間為(e,+∞).…(5分)
(2)因?yàn)閤1>x2>0,f(x1)-f(x2)<x1-x2恒成立,
則有f(x1)-x1<f(x2)-x2,對(duì)?x1>x2>0恒成立,…(7分)
令$g(x)=f(x)-x=lnx+\frac{k}{x}-x({x>0})$,則g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,
所以$g'(x)=\frac{1}{x}-\frac{k}{x^2}-1≤0$在(0,+∞)上恒成立,…(9分)
所以$k≥-{x^2}+x=-{({x-\frac{1}{2}})^2}+\frac{1}{4}({x>0})$恒成立,…(10分)
令$h(x)=-{({x-\frac{1}{2}})^2}+\frac{1}{4}$,則$k≥{[{h(x)}]_{max}}=\frac{1}{4}$.
所以k的取值范圍是$[{\frac{1}{4},+∞})$.…(12分)
點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想,轉(zhuǎn)化思想,是一道中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | $\frac{1}{8}$ | B. | $\frac{1}{4}$ | C. | $\frac{1}{2}$ | D. | $\frac{3}{4}$ |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | 16個(gè) | B. | 12個(gè) | C. | 9個(gè) | D. | 8個(gè) |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
冷漠 | 不冷漠 | 總計(jì) | |
多玩手機(jī) | 68 | 42 | 110 |
少玩手機(jī) | 20 | 38 | 58 |
總計(jì) | 88 | 80 | 168 |
P(K2>k) | 0.05 | 0.025 | 0.01 | 0.005 | 0.001 |
k | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.83 |
A. | 99.9% | B. | 97.5% | C. | 95% | D. | 90% |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | 145 | B. | 165 | C. | 240 | D. | 600 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
P(K2≥k0) | 0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
A. | 有95%的把握認(rèn)為“X和Y有關(guān)系” | B. | 有99%的把握認(rèn)為“X和Y有關(guān)系” | ||
C. | 有99.5%的把握認(rèn)為“X和Y有關(guān)系” | D. | 有99.9%的把握認(rèn)為 “X和Y有關(guān)系” |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
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A. | ![]() | B. | ![]() | ||
C. | ![]() | D. | ![]() |
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