3.設(shè)函數(shù)$f(x)=lnx+\frac{k}{x},k∈R$.
(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(e,f(e))處的切線與直線x-2=0垂直,求f(x)的單調(diào)區(qū)間(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù));
(2)若對(duì)任意x1>x2>0,f(x1)-f(x2)<x1-x2恒成立,求k的取值范圍.

分析 (1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),結(jié)合切線方程求出k的值,解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;
(2)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為$k≥-{x^2}+x=-{({x-\frac{1}{2}})^2}+\frac{1}{4}({x>0})$恒成立,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出k的范圍即可.

解答 解:(1)由$f(x)=lnx+\frac{k}{x}$,知x>0,且$f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{k}{x^2}({x>0})$,…(1分)
因?yàn)榍y=f(x)在點(diǎn)(e,f(e))處的切線與直線x=2垂直,所以f'(e)=0,
所以$\frac{1}{e}-\frac{k}{e^2}=0$,得k=e,…(3分)
所以$f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{e}{x^2}=\frac{x-e}{x^2}({x>0})$,
令f'(x)<0,得0<x<e,f(x)在(0,e)上單調(diào)遞減;
令f'(x)>0,得x>e,f(x)在(e,+∞)上單調(diào)遞增,
綜上,f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0,e),單調(diào)增區(qū)間為(e,+∞).…(5分)
(2)因?yàn)閤1>x2>0,f(x1)-f(x2)<x1-x2恒成立,
則有f(x1)-x1<f(x2)-x2,對(duì)?x1>x2>0恒成立,…(7分)
令$g(x)=f(x)-x=lnx+\frac{k}{x}-x({x>0})$,則g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,
所以$g'(x)=\frac{1}{x}-\frac{k}{x^2}-1≤0$在(0,+∞)上恒成立,…(9分)
所以$k≥-{x^2}+x=-{({x-\frac{1}{2}})^2}+\frac{1}{4}({x>0})$恒成立,…(10分)
令$h(x)=-{({x-\frac{1}{2}})^2}+\frac{1}{4}$,則$k≥{[{h(x)}]_{max}}=\frac{1}{4}$.
所以k的取值范圍是$[{\frac{1}{4},+∞})$.…(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想,轉(zhuǎn)化思想,是一道中檔題.

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冷漠不冷漠總計(jì)
多玩手機(jī)6842110
少玩手機(jī)203858
總計(jì)8880168
P(K2>k)0.050.0250.010.0050.001
k3.8415.0246.6357.87910.83
通過(guò)計(jì)算求得K2≈11.38,則認(rèn)為多玩手機(jī)與人變冷漠有關(guān)系的把握大約為( 。
A.99.9%B.97.5%C.95%D.90%

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A.145B.165C.240D.600

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 P(K2≥k0 0.050.01 0.005  0.001
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則下列說(shuō)法正確的是(  )
A.有95%的把握認(rèn)為“X和Y有關(guān)系”B.有99%的把握認(rèn)為“X和Y有關(guān)系”
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(1)求f(0)的值;
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A.B.
C.D.

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