Question

3．設(shè)函數(shù)$f（x）=lnx+\frac{k}{x}，k∈R$．
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（e，f（e））處的切線與直線x-2=0垂直，求f（x）的單調(diào)區(qū)間（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）；
（2）若對(duì)任意x₁＞x₂＞0，f（x₁）-f（x₂）＜x₁-x₂恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合切線方程求出k的值，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為$k≥-{x^2}+x=-{（{x-\frac{1}{2}}）^2}+\frac{1}{4}（{x＞0}）$恒成立，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出k的范圍即可．

解答 解：（1）由$f（x）=lnx+\frac{k}{x}$，知x＞0，且$f'（x）=\frac{1}{x}-\frac{k}{x^2}（{x＞0}）$，…（1分）
因?yàn)榍�線y=f（x）在點(diǎn)（e，f（e））處的切線與直線x=2垂直，所以f'（e）=0，
所以$\frac{1}{e}-\frac{k}{e^2}=0$，得k=e，…（3分）
所以$f'（x）=\frac{1}{x}-\frac{e}{x^2}=\frac{x-e}{x^2}（{x＞0}）$，
令f'（x）＜0，得0＜x＜e，f（x）在（0，e）上單調(diào)遞減；
令f'（x）＞0，得x＞e，f（x）在（e，+∞）上單調(diào)遞增，
綜上，f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，e），單調(diào)增區(qū)間為（e，+∞）．…（5分）
（2）因?yàn)閤₁＞x₂＞0，f（x₁）-f（x₂）＜x₁-x₂恒成立，
則有f（x₁）-x₁＜f（x₂）-x₂，對(duì)?x₁＞x₂＞0恒成立，…（7分）
令$g（x）=f（x）-x=lnx+\frac{k}{x}-x（{x＞0}）$，則g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
所以$g'（x）=\frac{1}{x}-\frac{k}{x^2}-1≤0$在（0，+∞）上恒成立，…（9分）
所以$k≥-{x^2}+x=-{（{x-\frac{1}{2}}）^2}+\frac{1}{4}（{x＞0}）$恒成立，…（10分）
令$h（x）=-{（{x-\frac{1}{2}}）^2}+\frac{1}{4}$，則$k≥{[{h（x）}]_{max}}=\frac{1}{4}$．
所以k的取值范圍是$[{\frac{1}{4}，+∞}）$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．