Question

已知數列{a_n}，{b_n}滿足：b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*）．
（1）若a₁=1，b_n=n，求數列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n+1b_n-1=b_n（n≥2），且b₁=1，b₂=2，記c_n=a_6n-1（n≥1）求證：數列{c_n}為等差數列．

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：（1）利用疊加可得，a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=a₁+b₁+b₂+…+b_n-1，可求a_n，
（2）由b_n+1b_n-1=b_n（n≥2），證明數列{b_n}是周期為6的周期數列，且數列{b_n}一個周期內的和為7．利用等差數列的定義即可得到結論．

解答： 解：（1）∵b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*）．
∴當n≥2時，有a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=a₁+b₁+b₂+…+b_n-1
=1+1+2+3+…+（n-1）=1+

(n-1)(1+n-1)

2

=

n2-n+2

2

，
又a₁=1也滿足上式，故數列{a_n}的通項為a_n=

n2-n+2

2

．
（2）∵b_n+1b_n-1=b_n（n≥2），
∴對任意的n∈N^*有bn+6=

bn+5

bn+4

=

1

bn+3

=

bn+1

bn+2

=b_n，
即數列{b_n}各項的值重復出現，周期為6．
又數列{b_n}的前6項分別為1，2，2，1，

1

2

，

1

2

，且這六個數的和為7．
∵c_n=a_6n-1（n≥1），
∴c_n+1-c_n=a_6n+5-a_6n-1=a₁+b₁+b₂+…+b_6n+5-（a₁+b₁+b₂+…+b_6n-1）=b_6n+b_6n+1+b_6n+2+b_6n+3+b_6n+4+b_6n+5=7（n≥1）
故數列{a_6n-1}為以7為公差的等差數列．

點評：本題主要考查了利用數列的遞推公式求解數列的通項公式以及數列的周期性的綜合應用，判斷數列是周期數列是解決本題的關鍵．試題的綜合性較強，有一定的難度．