Question

定義在R上的偶函數(shù)f（x）對任意的實(shí)數(shù)x都有f（x）=-f（x+

3

2

），且f（-1）=1，f（0）=-2，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2011）的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的周期性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題可先由條件“f（x）=-f（x+

3

2

）”得到函數(shù)的周期性，再由函數(shù)的奇偶性和條件“f（-1）=1，f（0）=-2，”求出f（1），f（2），f（3）的值，從而求出
f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2011）的值，得到本題結(jié)論．

解答： 解：∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x）．
∵對任意的實(shí)數(shù)x都有f（x）=-f（x+

3

2

），
∴f（x+

3

2

）=-f（x+3），
∴f（x+3）=f（x）．
∴函數(shù)f（x）的周期為3．
∵f（-1）=1，f（0）=-2，
∴f（1）=f（-1）=1，f（2）=f（2-3）=f（-1）=1，f（3）=f（0）=-2．
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2011）=670[f（1）+f（2）+f（3）]+f（2011）
=670×（1+1-2）+f（1）
=1．
故答案為：1．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的奇偶性、周期性，本題難度不大，屬于基礎(chǔ)題．