Question

5．設函數(shù)f（x）=a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$．
（1）求證：不論a為何實數(shù)，f（x）一定為增函數(shù)；
（2）確定a的值，使f（x）為奇函數(shù)，并求此時f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，任設x₁＜x₂，化簡f（x₁）-f（x₂）到因式乘積的形式，判斷f（x₁）-f（x₂）符號，即可得出結論；
（2）根據(jù)題意，由奇函數(shù)的性質分析可得f（0）=a-$\frac{2}{{2}^{0}+1}$=0，解可得a的值，即可得函數(shù)f（x）的解析式，對其解析式變形可得2^x=$\frac{1+y}{1-y}$，由指數(shù)函數(shù)的性質可得$\frac{1+y}{1-y}$＞0，解可得y的取值范圍，即可得答案．

解答 解：（1）證明：根據(jù)題意，設x₁＞x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（a-$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$）-（a-$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$）=$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$-$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$=$\frac{2（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$，
又由x₁＞x₂，則有${2}^{{x}_{1}}$＞${2}^{{x}_{2}}$，
即有f（x₁）-f（x₂）＞0，
則所以不論a為何實數(shù)f（x）總為增函數(shù)；
（2）若f（x）為奇函數(shù)，且其定義域為R，則有f（0）=0，
即f（0）=a-$\frac{2}{{2}^{0}+1}$=0，解可得a=1；
則f（x）=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，
變形可得：2^x=$\frac{1+y}{1-y}$，
又由2^x＞0，則有$\frac{1+y}{1-y}$＞0，
解可得-1＜y＜1，
即函數(shù)f（x）的值域為（-1，1）．

點評 本題考查函數(shù)的單調性與奇偶性的應用，涉及證明函數(shù)的單調性的方法、步驟，利用奇函數(shù)的定義求待定系數(shù)的值，及求函數(shù)的值域．