Question

14．在直角坐標系xoy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），以坐標原點為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C₂的極坐標方程為ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求曲線C₁的普通方程和直線C₂的直角坐標方程；
（Ⅱ）設點P在C₁上，點Q在C₂上，求|PQ|的最小值及對應的點P的直角坐標．

Answer 1

分析 （Ⅰ）曲線C₁的參數(shù)方程消去α，能求出曲線C₁的普通方程，曲線C₂的極坐標方程化為ρcosθ+ρsinθ=4，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出曲線C₂的直角坐標方程．
（Ⅱ）設點P到直線C₂的距離為d（a），則|PQ|的最小值即為d（a）的最小值，由此能求出當P的坐標為（$\frac{3}{2}，-\frac{1}{2}$）時，|PQ|取最小值$\sqrt{2}$．

解答 解：（Ⅰ）∵曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），
消去α，得曲線C₁的普通方程為x²+3y²-3=0，…（2分）
又$ρcos（θ-\frac{π}{4}）=2\sqrt{2}$，所以ρcosθ+ρsinθ=4．
∵直線C₂的極坐標方程為ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$．
即ρcosθ+ρsinθ=4，
又x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴直線C₂的直角坐標方程為x+y-4=0．…（4分）
（Ⅱ）設點P到直線C₂的距離為d（a），…（5分）
則d（a）=$\frac{|\sqrt{3}cosα+sinα-4|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|2cos（α-\frac{π}{6}）-4|}{\sqrt{2}}$，…（7分）
|PQ|的最小值即為d（a）的最小值，…（8分）
當cos（$α-\frac{π}{6}$）=1，即$α=\frac{π}{6}+2kπ$，k∈Z時，$d（a）_{min}=\sqrt{2}$，
此時P的坐標為（$\frac{3}{2}，\frac{1}{2}$）．
∴當P的坐標為（$\frac{3}{2}，\frac{1}{2}$）時，|PQ|取最小值$\sqrt{2}$．…（10分）

點評 本題考查曲線的普通方程和直線的直角坐標方程的求法，考查線段長的最小值及對應的點的坐標的求法，考查極坐標方程、直角坐標方程、參數(shù)方程的互化等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．