Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx+cos²x+$\frac{3}{2}$．
（1）當(dāng)x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]時，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）已知ω＞0，函數(shù)g（x）=f（$\frac{ωx}{2}$+$\frac{π}{12}$），若函數(shù)g（x）在區(qū)間[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{6}$]上是增函數(shù)，求ω的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)的倍角公式以及輔助角公式將函數(shù)進行化簡，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可．
（2）求出函數(shù)g（x）的解析式，結(jié)合函數(shù)g（x）的單調(diào)性建立不等式關(guān)系進行求解即可．

解答 解：f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1+cos2x}{2}$+$\frac{3}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x+2=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2，
∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，∴2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
則當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，即x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]時，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{5π}{6}$]，即x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]時，函數(shù)單調(diào)遞減．
（2）g（x）=f（$\frac{ωx}{2}$+$\frac{π}{12}$）=sin（ωx+$\frac{π}{3}$）+2，
當(dāng)x∈[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，ωx+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{2ωπ}{3}$+$\frac{π}{3}$，$\frac{ωπ}{6}$+$\frac{π}{3}$]，
∵函數(shù)g（x）在區(qū)間[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{6}$]上是增函數(shù)，且ω＞0，
則[-$\frac{2ωπ}{3}$+$\frac{π}{3}$，$\frac{ωπ}{6}$+$\frac{π}{3}$]⊆[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]，k∈Z，
即$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2ωπ}{3}+\frac{π}{3}≥-\frac{π}{2}+2kπ}\\{\frac{ωπ}{6}+\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ}\end{array}\right.$，則$\left\{\begin{array}{l}{ω≤\frac{5}{4}-3k}\\{ω≤1+12k}\end{array}\right.$，
∵ω＞0，∴$-\frac{1}{12}$＜k＜$\frac{5}{12}$，k∈Z，
∴k=0，∴ω≤1，
則ω的最大值為1．

點評 本題主要考查三角函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，利用輔助角公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運算能力．