Question

14．把平面直角坐標系xOy中，點A（2，0），點B在單位圓上，∠AOB=θ（0＜θ＜π）．
（1）若點B（-$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$），求tan（$\frac{π}{4}$-θ）的值；
（2）若$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OC}$=$\frac{33}{17}$，求cos（$\frac{π}{3}$+θ）的值．

Answer 1

分析 （1）由已知可得tanθ，然后展開兩角差的正確求解；
（2）利用向量的數(shù)量積運算求得cosθ，進一步展開兩角和的余弦求解．

解答 解：（1）點B（-$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$），如圖：
則tanθ=-$\frac{4}{3}$，
∴tan（$\frac{π}{4}-θ$）=$\frac{tan\frac{π}{4}-tanθ}{1+tan\frac{π}{4}tanθ}$=$\frac{1-tanθ}{1+tanθ}$=$\frac{1-（-\frac{4}{3}）}{1-\frac{4}{3}}=-7$；
（2）$\overrightarrow{OA}=（2，0）$，$\overrightarrow{OB}$=（cosθ，sinθ）．
∴$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$=（2+cosθ，sinθ）．
∴$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}$=cosθ（2+cosθ）+sin2θ=2cosθ+1=$\frac{33}{17}$．
∴cosθ=$\frac{8}{17}$；
又θ∈（0，π），
∴sinθ=$\sqrt{1-co{s}^{2}θ}$=$\frac{15}{17}$．
∴cos（$\frac{π}{3}+θ$）=cos$\frac{π}{3}$cosθ-sin$\frac{π}{3}$sinθ
=$\frac{1}{2}×\frac{8}{17}-\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{15}{17}$=$\frac{8-15\sqrt{3}}{34}$．

點評 考查平面向量的數(shù)量積運算，考查三角函數(shù)的定義，兩角差的正切公式，兩角和的余弦公式，是中檔題．