Question

19．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{a{x^2}+bx+c}}{e^x}$（a＞0）的導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的兩個(gè)零點(diǎn)為0和3．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）的極大值為$\frac{10}{e^3}$，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，5]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）先求導(dǎo)，在根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)得到：-ax²+（2a-b）x+b-c=0的兩根為0，3，根據(jù)韋達(dá)定理即可求出a，b，c的關(guān)系，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可求出單調(diào)增區(qū)間，
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求出函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值．

解答 解：f′（x）=$\frac{{-a{x^2}+（{2a-b}）x+b-c}}{e^x}$
令g（x）=-ax²+（2a-b）x+b-c
函數(shù)y=f′（x）的零點(diǎn)即g（x）=-ax²+（2a-b）x+b-c的零點(diǎn)
即：-ax²+（2a-b）x+b-c=0的兩根為0，3
則$\left\{\begin{array}{l}3=\frac{2a-b}{a}\\ o=b-c\end{array}\right.$解得：b=c=-a，
令f′（x）＞0得0＜x＜3
所以函數(shù)的f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，3），
（2）由（1）得：$f（x）=\frac{{a{x^2}-ax-a}}{e^x}$
函數(shù)在區(qū)間（0，3）單調(diào)遞增，在（3，+∞）單調(diào)遞減，
∴$f{（x）_{極大}}=f（3）=\frac{5a}{e^3}=\frac{10}{e^3}$，
∴a=2，
∴$f（0）=\frac{-a}{e^0}=-2$；  $f（5）=\frac{19a}{e^5}=\frac{38}{e^5}＞0$，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，4]上的最小值為-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了韋達(dá)定理和導(dǎo)數(shù)函數(shù)的最值以及單調(diào)性的關(guān)系，屬于中檔題．