Question

10．設f（x）=$\frac{lnx}{x}$-x．
（1）求f（x）的最大值；
（2）求證：當x＞0時，e^2x＞e^x+x．

Answer 1

分析 （1）求導數(shù)，確定函數(shù)的單調性，即可求f（x）的最大值；
（2）構造函數(shù)g（x）=e^2x-e^x-x，證明g′（x）＞0，函數(shù)單調遞增，即可證明結論．

解答 （1）解：∵f（x）=$\frac{lnx}{x}$-x，
∴f′（x）=$\frac{1-lnx-{x}^{2}}{{x}^{2}}$，
∴0＜x＜1時，f′（x）＞0，函數(shù)單調遞增，x＞1時，f′（x）＜0，函數(shù)單調遞減，
∴x=1時，函數(shù)f（x）取得最大值f（1）=-1．
（2）證明：令g（x）=e^2x-e^x-x，則g′（x）=2e^2x-e^x-1=（e^x-1）（2e^x+1），
∵x＞0，∴e^x-1＞0，
∴g′（x）＞0，函數(shù)單調遞增，
∴g（x）＞g（0）=0，
∴當x＞0時，e^2x＞e^x+x．

點評 本題考查導數(shù)知識的綜合運用，考查函數(shù)的單調性與最值，考查學生分析解決問題的能力，正確運用導數(shù)是關鍵．