Question

13．已知圓M：（x+1）²+y²=1，圓N：（x-1）²+y²=9，動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C．
（1）求C的方程；
（2）若直線l：y=x+k與曲線C相切，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)PM+PN=4，即P到M和P到N的距離之和為定值，得到P是以M、N為焦點(diǎn)的橢圓，求出橢圓方程即可；
（2）聯(lián)立直線l和曲線C得到方程組，根據(jù)△=0，得到關(guān)于k的方程，解出即可．

解答 解：（1）圓M：（x+1）²+y²=1，圓N：（x-1）²+y²=9，
設(shè)動(dòng)圓P半徑為R．
∵M(jìn)在N內(nèi)，∴動(dòng)圓只能在N內(nèi)與N內(nèi)切，不能是N在動(dòng)圓內(nèi)，即：R＜3
動(dòng)圓P與圓M外切，則PM=1+R，
動(dòng)圓P與圓N內(nèi)切，則PN=3-R，
∴PM+PN=4，即P到M和P到N的距離之和為定值．
∴P是以M、N為焦點(diǎn)的橢圓．
∵M(jìn)N的中點(diǎn)為原點(diǎn)，故橢圓中心在原點(diǎn)，
∴2a=4，a=2，2c=MN=2，c=1，
∴b²=a²-c²=4-1=3，
∴C的方程為 $\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1（x≠-2）；
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=x+k}\end{array}\right.$，得：7x²+8kx+4k²-12=0，
若直線l和曲線C相切，
則△=64k²-28（4k²-12）=0，
解得：k=±$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求橢圓方程問(wèn)題，考查直線和曲線的位置關(guān)系，是一道中檔題．