Question

13．已知曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=\sqrt{3}sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸，取相同的單位長(zhǎng)度，建立極坐標(biāo)系，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=2．
（1）分別寫(xiě)出曲線C₁的普通方程與曲線C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）已知M，N分別是曲線C₁的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)P為曲線C₂上任意一點(diǎn)，求|PM|+|PN|的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用三種方程的轉(zhuǎn)化方法，分別寫(xiě)出曲線C₁的普通方程與曲線C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)P（2cosα，2sinα），則|PM|+|PN|=$\sqrt{7-4\sqrt{3}sinα}$+$\sqrt{7+4\sqrt{3}sinα}$，兩邊平方，即可求|PM|+|PN|的最大值．

解答 解：（1）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=\sqrt{3}sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），普通方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=2，直角坐標(biāo)方程為x²+y²=4；
（2）設(shè)P（2cosα，2sinα），則|PM|+|PN|=$\sqrt{7-4\sqrt{3}sinα}$+$\sqrt{7+4\sqrt{3}sinα}$，
∴（|PM|+|PN|）²=14+2$\sqrt{49-48si{n}^{2}α}$，
∴sinα=0時(shí)，|PM|+|PN|的最大值為2$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三種方程的轉(zhuǎn)化，考查參數(shù)方程的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．