Question

12．設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=x³-x²-x+a
（1）求f（x）的極值
（2）曲線y=f（x）與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)連續(xù)可導(dǎo)，只需討論滿足f′（x）=0的點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)的變化情況，來(lái)確定極值點(diǎn)，求出極值．
（2）曲線f（x）與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，可轉(zhuǎn)化成f（x）_極大值＜0或f（x）_極小值＞0即可．

解答 解：（1）令f'（x）=3x²-2x-1=0得：x₁=-$\frac{1}{3}$，x₂=1．
又∵當(dāng)x∈（-∞，-$\frac{1}{3}$）時(shí)，f'（x）＞0；
當(dāng)x∈（-$\frac{1}{3}$，1）時(shí)，f'（x）＜0；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f'（x）＞0；
∴x₁=-$\frac{1}{3}$與x₂=1分別為f（x）的極大值與極小值點(diǎn)．
∴f（x）_極大值=f（-$\frac{1}{3}$）=a+$\frac{5}{27}$；f（x）_極小值=a-1；
（2）∵f（x）在（-∞，-$\frac{1}{3}$）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x→-∞時(shí)，f（x）→-∞；
又f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增，當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→+∞
∴當(dāng)f（x）_極大值＜0或f（x）_極小值＞0時(shí)，曲線f（x）與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)．
即a+$\frac{5}{27}$＜0或a-1＞0，
∴a∈（-∞，-$\frac{5}{27}$）∪（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．