3．?dāng)?shù)列{an}滿足${2^n}{a_n}={2^{n+1}}{a_{n+1}}-1$，且a1=1，若${a_n}＜\frac{1}{5}$，則n的最小值為（　�。�
A．4B．5C．6D．7

分析 依題意，得${2}^{n+1}{a}_{n+1}-{2}^{n}{a}_{n}=1$，可判斷出數(shù)列{2nan}為公差是1的等差數(shù)列，進(jìn)一步可求得21a1=2，即其首項(xiàng)為2，從而可得an=$\frac{n+1}{{2}^{n}}$，繼而可得答案．

解答 解：∵${2^n}{a_n}={2^{n+1}}{a_{n+1}}-1$，即${2}^{n+1}{a}_{n+1}-{2}^{n}{a}_{n}=1$，
∴數(shù)列{2nan}為公差是1的等差數(shù)列，
又a1=1，
∴21a1=2，即其首項(xiàng)為2，
∴2nan=2+（n-1）×1=n+1，
∴an=$\frac{n+1}{{2}^{n}}$．
∴a1=1，a2=$\frac{3}{4}$，a3=$\frac{1}{2}$，a4=$\frac{5}{16}$＞$\frac{1}{5}$，a5=$\frac{6}{32}$=$\frac{3}{16}$＜$\frac{3}{15}$=$\frac{1}{5}$，
∴若${a_n}＜\frac{1}{5}$，則n的最小值為5，
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列遞推式，判斷出數(shù)列{2nan}為公差是1的等差數(shù)列，并求得an=$\frac{n+1}{{2}^{n}}$是關(guān)鍵，考查分析應(yīng)用能力．屬于中檔題．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

13．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．
（Ⅰ）證明：PA⊥BD；
（II）若PD=AD，求AD與平面PAB所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，若直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y={y}_{0}+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，α為l的傾斜角），曲線E的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ．射線θ=β，θ=β+$\frac{π}{4}$，θ=β-$\frac{π}{4}$與曲線E分別交于不同于極點(diǎn)的三點(diǎn)A、B、C．
（1）求證：|OB|+|OC|=$\sqrt{2}$|OA|；
（2）當(dāng)β=$\frac{7π}{12}$時，直線l過B、C兩點(diǎn)，求y0與α的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

11．若直線l1：x-2y+1=0與l2：2x+ay-2=0平行，則l1與l2的距離為（　�。�
A．$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$B．$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$C．$\frac{1}{5}$D．$\frac{2}{5}$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

18．已知函數(shù)$f（x）=2sin（2ωx+\frac{π}{6}）+1$（其中0＜ω＜2），若直線$x=\frac{π}{6}$是函數(shù)f（x）圖象的一條對稱軸．
（1）求ω及f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）在$x∈[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$上的單調(diào)遞減區(qū)間．
（3）若函數(shù)g（x）=f（x）+a在區(qū)間$[{0，\frac{π}{2}}]$上的圖象與x軸沒有交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

8．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足2cos C（a cos B+b cos A ）=c．
①求C；    
②若c=$\sqrt{7}$，ab=6．
求△ABC的周長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

15．某學(xué)生為了測試煤氣灶燒水如何節(jié)省煤氣的問題設(shè)計(jì)了一個實(shí)驗(yàn)，并獲得了煤氣開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)x與燒開一壺水所用時間y的一組數(shù)據(jù)，且作了一定的數(shù)據(jù)處理（如表），得到了散點(diǎn)圖（如圖）．
$\bar x$$\bar y$$\bar w$$\sum_{i=1}^{10}{（{x_i}-\bar x）^2}$$\sum_{i=1}^{10}{（{w_i}-\bar w）^2}$$\sum_{i=1}^{10}（{x_i}-\bar x）（{y_i}-\bar y）$$\sum_{i=1}^{10}（{w_i}-\bar w）（{y_i}-\bar y）$
1.4720.60.782.350.81-19.316.2
表中${w_i}=\frac{1}{x_i^2}，\overline{w}=\frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}{w_i}$．
（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y=a+bx與$y=c+\fraclpqsrwy{x^2}$哪一個更適宜作燒水時間y關(guān)于開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)x的回歸方程類型？（不必說明理由）
（2）根據(jù)判斷結(jié)果和表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；
（3）若旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)x與單位時間內(nèi)煤氣輸出量t成正比，那么x為多少時，燒開一壺水最省煤氣？
附：對于一組數(shù)據(jù)（u1，v1），（u2，v2），（u3，v3），…，（un，vn），其回歸直線v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為$\hat β=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{v_i}-\bar v）（{u_i}-\bar u）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{u_i}-\bar u）}^2}}}}，\hat α=\bar v-\hat β\bar u$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

12．在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，2sinA），$\overrightarrow{n}$=（c，a）若$\overrightarrow{m}∥\overrightarrow{n}$
（Ⅰ）求角C的大�。�
（Ⅱ）若c=$\sqrt{7}$，且△ABC的面積為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，求a+b的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

13．設(shè)a，b∈R，若a＞b，則（　�。�
A．$\frac{1}{a}＜\frac{1}$B．ac2＞bc2C．2-a＜2-bD．lga＞lgb

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