Question

3．?dāng)?shù)列{a_n}滿足${2^n}{a_n}={2^{n+1}}{a_{n+1}}-1$，且a₁=1，若${a_n}＜\frac{1}{5}$，則n的最小值為（　　）

• A． 4
• B． 5
• C． 6
• D． 7

Answer 1

分析 依題意，得${2}^{n+1}{a}_{n+1}-{2}^{n}{a}_{n}=1$，可判斷出數(shù)列{2ⁿa_n}為公差是1的等差數(shù)列，進一步可求得2¹a₁=2，即其首項為2，從而可得a_n=$\frac{n+1}{{2}^{n}}$，繼而可得答案．

解答 解：∵${2^n}{a_n}={2^{n+1}}{a_{n+1}}-1$，即${2}^{n+1}{a}_{n+1}-{2}^{n}{a}_{n}=1$，
∴數(shù)列{2ⁿa_n}為公差是1的等差數(shù)列，
又a₁=1，
∴2¹a₁=2，即其首項為2，
∴2ⁿa_n=2+（n-1）×1=n+1，
∴a_n=$\frac{n+1}{{2}^{n}}$．
∴a₁=1，a₂=$\frac{3}{4}$，a₃=$\frac{1}{2}$，a₄=$\frac{5}{16}$＞$\frac{1}{5}$，a₅=$\frac{6}{32}$=$\frac{3}{16}$＜$\frac{3}{15}$=$\frac{1}{5}$，
∴若${a_n}＜\frac{1}{5}$，則n的最小值為5，
故選：B．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，判斷出數(shù)列{2ⁿa_n}為公差是1的等差數(shù)列，并求得a_n=$\frac{n+1}{{2}^{n}}$是關(guān)鍵，考查分析應(yīng)用能力．屬于中檔題．