Question

14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，若直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y={y}_{0}+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，α為l的傾斜角），曲線E的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ．射線θ=β，θ=β+$\frac{π}{4}$，θ=β-$\frac{π}{4}$與曲線E分別交于不同于極點(diǎn)的三點(diǎn)A、B、C．
（1）求證：|OB|+|OC|=$\sqrt{2}$|OA|；
（2）當(dāng)β=$\frac{7π}{12}$時(shí)，直線l過B、C兩點(diǎn)，求y₀與α的值．

Answer 1

分析 （1）由題意可知求得丨OA丨，丨OB丨及丨OC丨，即可證明|OB|+|OC|=$\sqrt{2}$|OA|；
（2）當(dāng)β=$\frac{7π}{12}$時(shí)，求得B和C點(diǎn)坐標(biāo)，求得直線l的方程，即可求得y₀與α的值．

解答 解：（1）證明：由題意可知丨OA丨=4sinβ，丨OB丨=4sin（β+$\frac{π}{4}$），丨OC丨=4sin（β-$\frac{π}{4}$），
則丨OB丨+丨OC丨=4sin（β+$\frac{π}{4}$）+4sin（β-$\frac{π}{4}$）=4$\sqrt{2}$sinβ=$\sqrt{2}$丨OA丨，
（2）當(dāng)β=$\frac{7π}{12}$時(shí)，B點(diǎn)的極坐標(biāo)為（4sin（$\frac{7π}{12}$+$\frac{π}{4}$），（$\frac{7π}{12}$+$\frac{π}{4}$）），
C的極坐標(biāo)為（4sin（$\frac{7π}{12}$-$\frac{π}{4}$），（$\frac{7π}{12}$+$\frac{π}{4}$）），
轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)B（-$\sqrt{3}$，1），C（$\sqrt{3}$，3），
則直線l的方程為x-$\sqrt{3}$y+2$\sqrt{3}$=0，
則y₀=2，α=$\frac{π}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化，考查兩角和的正弦公式，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．