Question

18．已知函數$f（x）=2sin（2ωx+\frac{π}{6}）+1$（其中0＜ω＜2），若直線$x=\frac{π}{6}$是函數f（x）圖象的一條對稱軸．
（1）求ω及f（x）的最小正周期；
（2）求函數f（x）在$x∈[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$上的單調遞減區(qū)間．
（3）若函數g（x）=f（x）+a在區(qū)間$[{0，\frac{π}{2}}]$上的圖象與x軸沒有交點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用正弦函數的圖象的對稱性求得ω，可得函數的解析式，再利用正弦函數的周期性，求得f（x）的最小正周期．
（2）利用弦函數的單調性，求得函數f（x）在$x∈[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$上的單調減區(qū)間．
（3）利用正弦函數的定義域和值域，求得實數a的取值范圍．

解答 解：（1）由題可知：2ω•$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，故有ω=3k+1，k∈Z，
又∵0＜ω＜1，∴ω=1，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，由此可得函數的周期為T=π．
（2）令$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，可得$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{2π}{3}$+kπ，k∈Z，
∵$x∈[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$，故函數f（x）在$x∈[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$上的單調減區(qū)間為$[{-\frac{π}{2}，-\frac{π}{3}}]$和$[{\frac{π}{6}，\frac{π}{2}}]$．
（3）令g（x）=0得g（x）=f（x）+a=0可得a=-1-2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
在$x∈[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$上，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴-1-2sin（2x+$\frac{π}{6}$）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的值域為[-3，0]．
為使函數g（x）=f（x）+a在區(qū)間$[{0，\frac{π}{2}}]$上的圖象與x軸沒有交點，則實數a的取值范圍為a＜-3或a＞0．

點評 本題主要考查正弦函數的圖象的對稱性、正弦函數的周期性、正弦函數的定義域和值域，屬于中檔題．