如圖，等邊三角形OAB的邊長為8，且其三個頂點(diǎn)均在拋物線E：x2＝2py(p>0)上．

(1)求拋物線E的方程；

(2)設(shè)動直線l與拋物線E相切于點(diǎn)P，與直線y＝－1相交于點(diǎn)Q，證明以PQ為直徑的圓恒過y軸上某定點(diǎn)．

 

（1）x2＝4y （2）見解析

【解析】(1)依題意，|OB|＝8，∠BOy＝30°．

設(shè)B(x，y)，則x＝|OB|sin30°＝4，y＝|OB|cos30°＝12．

因?yàn)辄c(diǎn)B(4，12)在x2＝2py上，所以(4)2＝2p×12，解得p＝2．故拋物線E的方程為x2＝4y．

(2)方法一：由(1)知y＝x2，y′＝x．

設(shè)P(x0，y0)，則x0≠0，且l的方程為

y－y0＝x0(x－x0)，即y＝x0x－．

由，得．

所以Q(，－1)．

設(shè)M(0，y1)，令·＝0對滿足y0＝ (x0≠0)的點(diǎn)(x0，y0)恒成立．

由于＝(x0，y0－y1)，＝(，－1－y1)，

由·＝0，得－y0－y0y1＋y1＋＝0，

即(＋y1－2)＋(1－y1)y0＝0　(*)．

由于(*)式對滿足y0＝ (x0≠0)的y0恒成立，

所以，解得y1＝1．

故以PQ為直徑的圓恒過y軸上的定點(diǎn)M(0,1)．

 

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在可行域內(nèi)任取一點(diǎn)，規(guī)則如流程圖所示，求輸出數(shù)對(x，y)的概率．

 

 

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A．至多為1 B．2 C．1 D．0

 

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設(shè)M、N為拋物線C：y＝x2上的兩個動點(diǎn)，過M、N分別作拋物線C的切線l1、l2，與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，且l1與l2相交于點(diǎn)P，若|AB|＝1．

(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；

(2)求證：△MNP的面積為一個定值，并求出這個定值．

 

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設(shè)F(1,0)，M點(diǎn)在x軸上，P點(diǎn)在y軸上，且＝2，⊥，當(dāng)點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動時，點(diǎn)N的軌跡方程為(　　)

A．y2＝2x B．y2＝4x

C．y2＝x D．y2＝x

 

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已知拋物線C：y2＝2px(p>0)過點(diǎn)A(1，－2)．

(1)求拋物線C的方程，并求其準(zhǔn)線方程；

(2)是否存在平行于OA(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的直線l，使得直線l與拋物線C有公共點(diǎn)，且直線OA與l的距離等于？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

 

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已知點(diǎn)A(3,4)，F(xiàn)是拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)，M是拋物線上的動點(diǎn)，當(dāng)|AM|＋|MF|最小時，M點(diǎn)坐標(biāo)是(　　)

A．(0,0) B．(3,2) C．(2,4) D．(3，－2)

 

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A．－y2＝1 B．x2－＝1

C．－＝1 D．－＝1

 

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