如圖,等邊三角形OAB的邊長為8,且其三個頂點(diǎn)均在拋物線E:x2=2py(p>0)上.
(1)求拋物線E的方程;
(2)設(shè)動直線l與拋物線E相切于點(diǎn)P,與直線y=-1相交于點(diǎn)Q,證明以PQ為直徑的圓恒過y軸上某定點(diǎn).
(1)x2=4y (2)見解析
【解析】(1)依題意,|OB|=8,∠BOy=30°.
設(shè)B(x,y),則x=|OB|sin30°=4,y=|OB|cos30°=12.
因?yàn)辄c(diǎn)B(4,12)在x2=2py上,所以(4
)2=2p×12,解得p=2.故拋物線E的方程為x2=4y.
(2)方法一:由(1)知y=x2,y′=
x.
設(shè)P(x0,y0),則x0≠0,且l的方程為
y-y0=x0(x-x0),即y=
x0x-
.
由,得
.
所以Q(,-1).
設(shè)M(0,y1),令·
=0對滿足y0=
(x0≠0)的點(diǎn)(x0,y0)恒成立.
由于=(x0,y0-y1),
=(
,-1-y1),
由·
=0,得
-y0-y0y1+y1+
=0,
即(+y1-2)+(1-y1)y0=0 (*).
由于(*)式對滿足y0= (x0≠0)的y0恒成立,
所以,解得y1=1.
故以PQ為直徑的圓恒過y軸上的定點(diǎn)M(0,1).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015高考數(shù)學(xué)(理)一輪配套特訓(xùn):9-4算法初步(解析版) 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015高考數(shù)學(xué)(理)一輪配套特訓(xùn):8-9圓錐曲線的綜合問題(解析版) 題型:選擇題
若直線mx+ny=4與⊙O:x2+y2=4沒有交點(diǎn),則過點(diǎn)P(m,n)的直線與橢圓+
=1的交點(diǎn)個數(shù)是( )
A.至多為1 B.2 C.1 D.0
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015高考數(shù)學(xué)(理)一輪配套特訓(xùn):8-8曲線與方程(解析版) 題型:解答題
設(shè)M、N為拋物線C:y=x2上的兩個動點(diǎn),過M、N分別作拋物線C的切線l1、l2,與x軸分別交于A、B兩點(diǎn),且l1與l2相交于點(diǎn)P,若|AB|=1.
(1)求點(diǎn)P的軌跡方程;
(2)求證:△MNP的面積為一個定值,并求出這個定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015高考數(shù)學(xué)(理)一輪配套特訓(xùn):8-8曲線與方程(解析版) 題型:選擇題
設(shè)F(1,0),M點(diǎn)在x軸上,P點(diǎn)在y軸上,且=2
,
⊥
,當(dāng)點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動時,點(diǎn)N的軌跡方程為( )
A.y2=2x B.y2=4x
C.y2=x D.y2=
x
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015高考數(shù)學(xué)(理)一輪配套特訓(xùn):8-7拋物線(解析版) 題型:解答題
已知拋物線C:y2=2px(p>0)過點(diǎn)A(1,-2).
(1)求拋物線C的方程,并求其準(zhǔn)線方程;
(2)是否存在平行于OA(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的直線l,使得直線l與拋物線C有公共點(diǎn),且直線OA與l的距離等于?若存在,求出直線l的方程;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015高考數(shù)學(xué)(理)一輪配套特訓(xùn):8-7拋物線(解析版) 題型:選擇題
已知點(diǎn)A(3,4),F(xiàn)是拋物線y2=8x的焦點(diǎn),M是拋物線上的動點(diǎn),當(dāng)|AM|+|MF|最小時,M點(diǎn)坐標(biāo)是( )
A.(0,0) B.(3,2) C.(2,4) D.(3,-2
)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015高考數(shù)學(xué)(理)一輪配套特訓(xùn):8-6雙曲線(解析版) 題型:選擇題
已知雙曲線中心在原點(diǎn)且一個焦點(diǎn)為F1(-,0),點(diǎn)P位于該雙曲線上,線段PF1的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),則雙曲線的方程是( )
A.-y2=1 B.x2-
=1
C.-
=1 D.
-
=1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015高考數(shù)學(xué)(理)一輪配套特訓(xùn):8-3圓的方程(解析版) 題型:填空題
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