Question

【題目】在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥DC，AD⊥DC，AB=AD=2，DC=3，平面PDC⊥平面ABCD，E在棱PC上且PE=2EC。

()證明：BE∥平面PAD；

(1)若ΔPDC是正三角形，求三棱錐P-DBE的體積。

Answer 1

【答案】(1) 見證明；(2)

【解析】

(1) 作EF∥DC交PD于點(diǎn)F，連接AF，利用PE=2EC可得FE=2，再利用AB∥DC即可證得四邊形ABEF為平行四邊形，問題得證。

(2)利用平面PDC⊥平面ABCD及AD⊥DC即可證得：AD⊥平面PDC，利用體積轉(zhuǎn)化可得：，再利用錐體體積計(jì)算公式即可得解。

(1)證明：作EF∥DC交PD于點(diǎn)F，連接AF，

因?yàn)镋在棱PC上且PE=2EC，

所以FE=DC=2，

又因?yàn)锳B∥DC，AB=2，

所以AB∥FE，且AB=FE，

所以四邊形ABEF為平行四邊形，

從而有AF∥BE

又因?yàn)锽E平面PAD，AF平面PAD，

所以BE∥平面PAD

(2)因?yàn)槠矫鍼DC⊥平面ABCD，且交線為DC，AD⊥DC，AD平面ABCD

所以AD⊥平面PDC.

因?yàn)镻E=2EC

所以

即三棱錐P-DBE的體積為。