Question

【題目】已知數列的前項和為，且，

（1）求證：數列為等比數列，并求出數列的通項公式；

（2）是否存在實數，對任意，不等式恒成立？若存在，求出的取值范圍，若不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明略； （2）

【解析】

（1）直接利用遞推關系式求出數列的通項公式，進一步證明數列為等比數列；

（2）利用（1）的結論，進一步利用分組法和恒成立問題求出實數λ的取值范圍．

證明：（1）已知數列{an}的前n項和為Sn，且，①

當n=1時，，

則：當n≥2時，，②

①﹣②得：an=2an﹣2an﹣1﹣+，

整理得：，

所以：，

故：（常數），

故：數列{an}是以為首項，2為公比的等比數列．

故：，

所以：．

由于：，

所以：（常數）．

故：數列{bn}為等比數列．

（2）由（1）得：，

所以：+（），

=，

=，

假設存在實數λ，對任意m，n∈N*，不等式恒成立，

即：，

由于：，

故當m=1時，，

所以：，

當n=1時，．

故存在實數λ，且．