Question

1．已知?jiǎng)狱c(diǎn)M（x，y）的坐標(biāo)滿足方程$\sqrt{{{（y+5）}^2}+{x^2}}-\sqrt{{{（y-5）}^2}+{x^2}}=8$，則M的軌跡方程是（　�。�

• A． $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$
• B． $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$
• C． $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1（x＞0）$
• D． $\frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{9}=1（y＞0）$

Answer 1

分析 由動(dòng)點(diǎn)M（x，y）的坐標(biāo)滿足方程$\sqrt{{{（y+5）}^2}+{x^2}}-\sqrt{{{（y-5）}^2}+{x^2}}=8$及兩點(diǎn)間的距離公式，得到其軌跡是以（0，±5）為焦點(diǎn)，以8為實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線的上支，進(jìn)而得到對(duì)應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答 解：設(shè)A（0，5），B（0，-5）
由于動(dòng)點(diǎn)M（x，y）的坐標(biāo)滿足方程$\sqrt{{{（y+5）}^2}+{x^2}}-\sqrt{{{（y-5）}^2}+{x^2}}=8$，
則|MB|-|MA|=8，故點(diǎn)P到定點(diǎn)B（0，-5）與到定點(diǎn)A（0，5）的距離差為8，
則動(dòng)點(diǎn)M（x，y）的軌跡是以（0，±5）為焦點(diǎn)，以8為實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線的上支，
由于2a=8，c=5，則b²=c²-a²=25-16=9，
故M的軌跡的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{y}^{2}}{16}-\frac{{x}^{2}}{9}$=1（y＞0）．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求點(diǎn)的軌跡方程的方法，兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用，判斷動(dòng)點(diǎn)M（x，y）的軌跡是以（0，±5）為焦點(diǎn)，以8為實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線的上支，是解題的關(guān)鍵．