Question

3．已知x，y∈R．
（Ⅰ）若x，y滿足$|{x-3y}|＜\frac{1}{2}$，$|{x+2y}|＜\frac{1}{6}$，求證：$|x|＜\frac{3}{10}$；
（Ⅱ）求證：x⁴+16y⁴≥2x³y+8xy³．

Answer 1

分析 （Ⅰ）|x|=$\frac{1}{5}$[|2（x-3y）+3（x+2y）|]≤$\frac{1}{5}$[|2（x-3y）|+|3（x+2y）|]＜$\frac{1}{5}$（2×$\frac{1}{2}$+3×$\frac{1}{6}$）=$\frac{3}{10}$；
（Ⅱ）x⁴+16y⁴-（2x³y+8xy³）=x⁴-2x³y+16y⁴-8xy³=x³（x-2y）+8y³（2y-x）=（x-2y）²[（x+y）²+3y²]≥0即可．

解答 證明：（Ⅰ）利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)得：
|x|=$\frac{1}{5}$[|2（x-3y）+3（x+2y）|]≤$\frac{1}{5}$[|2（x-3y）|+|3（x+2y）|]＜$\frac{1}{5}$（2×$\frac{1}{2}$+3×$\frac{1}{6}$）=$\frac{3}{10}$；
（Ⅱ）因?yàn)閤⁴+16y⁴-（2x³y+8xy³）=x⁴-2x³y+16y⁴-8xy³=x³（x-2y）+8y³（2y-x）
=（x-2y）（x³-8y³）=（x-2y）（x-2y）（x²+2xy+4y²）
=（x-2y）²[（x+y）²+3y²]≥0，
∴x⁴+16y⁴≥2x³y+8xy³

點(diǎn)評(píng) 本題考查了絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，作差法證明不等式，屬于中檔題．