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13.若定義在(0,1)上的函數(shù)f(x)滿足:f(x)>0且對(duì)任意的x∈(0,1),有f(2x1+x2)=2f(x).則(  )
A.對(duì)任意的正數(shù)M,存在x∈(0,1),使f(x)≥M
B.存在正數(shù)M,對(duì)任意的x∈(0,1),使f(x)≤M
C.對(duì)任意的x1,x2∈(0,1)且x1<x2,有f(x1)<f(x2
D.對(duì)任意的x1,x2∈(0,1)且x1<x2,有f(x1)>f(x2

分析 當(dāng)x∈(0,1)時(shí),對(duì)勾函數(shù)y=x+1x為單調(diào)減函數(shù),可知t(x)=2x1+x2=21x+x在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增,令0<x1<x2<1,則t(x1)<t(x2),∵x∈(0,1),有f(2x1+x2)=2f(x),
故當(dāng)x→0+時(shí),有f(0+)=2f(0+),故f(0+)=0,故不存在對(duì)任意的正數(shù)M,存在x∈(0,1),使f(x)≥M,對(duì)于函數(shù)f(x)的單調(diào)性不能確定.

解答 解:當(dāng)x∈(0,1)時(shí),對(duì)勾函數(shù)y=x+1x為單調(diào)減函數(shù),
所以t(x)=2x1+x2=21x+x在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增,
令0<x1<x2<1,則t(x1)<t(x2),
∵x∈(0,1),有f(2x1+x2)=2f(x),
∴當(dāng)x→0+時(shí),有f(0+)=2f(0+),故f(0+)=0,
故不存在對(duì)任意的正數(shù)M,存在x∈(0,1),使f(x)≥M
 對(duì)于函數(shù)f(x)的單調(diào)性不能確定,
故選:B

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的性質(zhì),需要對(duì)函數(shù)的特征進(jìn)行分析,從而作出判定,屬于難題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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