Question

13．若定義在（0，1）上的函數(shù)f（x）滿足：f（x）＞0且對(duì)任意的x∈（0，1），有f（$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$）=2f（x）．則（　　）

• A． 對(duì)任意的正數(shù)M，存在x∈（0，1），使f（x）≥M
• B． 存在正數(shù)M，對(duì)任意的x∈（0，1），使f（x）≤M
• C． 對(duì)任意的x₁，x₂∈（0，1）且x₁＜x₂，有f（x₁）＜f（x₂）
• D． 對(duì)任意的x₁，x₂∈（0，1）且x₁＜x₂，有f（x₁）＞f（x₂）

Answer 1

分析 當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，對(duì)勾函數(shù)y=x+$\frac{1}{x}$為單調(diào)減函數(shù)，可知t（x）=$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$=$\frac{2}{\frac{1}{x}+x}$在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，令0＜x₁＜x₂＜1，則t（x₁）＜t（x₂），∵x∈（0，1），有f（$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$）=2f（x），
故當(dāng)x→0⁺時(shí)，有f（0⁺）=2f（0⁺），故f（0⁺）=0，故不存在對(duì)任意的正數(shù)M，存在x∈（0，1），使f（x）≥M，對(duì)于函數(shù)f（x）的單調(diào)性不能確定．

解答 解：當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，對(duì)勾函數(shù)y=x+$\frac{1}{x}$為單調(diào)減函數(shù)，
所以t（x）=$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$=$\frac{2}{\frac{1}{x}+x}$在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，
令0＜x₁＜x₂＜1，則t（x₁）＜t（x₂），
∵x∈（0，1），有f（$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$）=2f（x），
∴當(dāng)x→0⁺時(shí)，有f（0⁺）=2f（0⁺），故f（0⁺）=0，
故不存在對(duì)任意的正數(shù)M，存在x∈（0，1），使f（x）≥M
 對(duì)于函數(shù)f（x）的單調(diào)性不能確定，
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，需要對(duì)函數(shù)的特征進(jìn)行分析，從而作出判定，屬于難題．