Question

12．向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$均為非零向量，$（\overrightarrow a-2\overrightarrow b）⊥\overrightarrow a，（\overrightarrow b-2\overrightarrow a）⊥\overrightarrow b$，則$\overrightarrow a，\overrightarrow b$的夾角為$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)向量垂直得出|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=$\sqrt{2\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$，代入向量的夾角公式計算即可．

解答 解：∵$（\overrightarrow a-2\overrightarrow b）⊥\overrightarrow a，（\overrightarrow b-2\overrightarrow a）⊥\overrightarrow b$，
∴${\overrightarrow{a}}^{2}$-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，${\overrightarrow}^{2}$-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，
即|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=$\sqrt{2\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$，
∴cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{2\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\overrightarrow{a}與\overrightarrow$的夾角為$\frac{π}{3}$．
故答案為$\frac{π}{3}$．

點評 本題考查了平面向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，平面向量的夾角公式，屬于中檔題．