Question

17．若實(shí)數(shù)變量x、y滿足約束條件|x+y|+|x-2y|≤3，目標(biāo)函數(shù)z=ax-y+1（a∈R）．有如下結(jié)論：①可行域外輪廓為矩形；②可行域面積為3；③a=1時(shí)，z的最小值為-1；④a=2時(shí)，使得z取最大值的最優(yōu)解有無數(shù)組；則下列組合中全部正確的為（　�。�

• A． ①②
• B． ②③
• C． ①③
• D． ③④

Answer 1

分析 根據(jù)絕對值的三角不等式可得約束條件，畫出可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義結(jié)合最值求解即可．

解答 解：∵|x+y|+|x-2y|≥|x+y+x-2y|=|2x-y|，
∴|2x-y|≤3，
∵|x+y|+|x-2y|≥|x+y-x+2y|=|3y|
∴|3y|≤3，
即|y|≤1，
作出不等式組$\left\{\begin{array}{l}{|2x-y|≤3}\\{|y|≤1}\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域如圖所示，
由圖可知可行域外輪廓為平行四邊形，且面積3×2=6，故①②錯(cuò)誤，
當(dāng)a=1時(shí)，目標(biāo)函數(shù)為z=x-y+1，即y=x+1-z，
平移直線y=x+1-z，當(dāng)過點(diǎn)C（-1，1）時(shí)，z有最小值，z的最小值為-1-1+1=-1，故③正確，
當(dāng)a=2時(shí)，目標(biāo)函數(shù)為z=2x-y+1，即y=2x+1-z，此時(shí)直線y=2x+1-z，與AB所在的直線平行，
故使得z取最大值的最優(yōu)解有無數(shù)組，故④正確，
故選：D

點(diǎn)評 本題考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，函數(shù)的最值的求法，考查分析問題解決問題的能力．屬于中檔題