Question

2．在銳角△ABC中，∠C=2∠B，則$\frac{a}$的取值范圍是（1，2）．

Answer 1

分析 先利用銳角三角形的性質(zhì)求得30°＜B＜45°，利用正弦定理列出關(guān)系式，化簡可得$\frac{a}$=$\frac{sin3B}{sinB}$=3-4sin²B，根據(jù)sinB的范圍，即可求出所求式子的范圍．

解答 解：銳角△ABC中，∵∠A+∠B+∠C=180°，∠C=2∠B，
當(dāng)C為最大角時(shí)，由∠C＜90°，∴∠B＜45°，
當(dāng)∠A為最大角時(shí)，由∠A＜90°，∠B+∠C＞90°，∴∠B＞30°，∴30°＜B＜45°．
∴2cos45°＜2cosB＜2cos30°．
由正弦定理可得$\frac{a}$=$\frac{sinA}{sinB}$=$\frac{sin（180°-3B）}{sinB}$=$\frac{sin3B}{sinB}$=$\frac{3sinB-{4sin}^{3}B}{sinB}$=3-4sin²B，
∵sinB∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），∴sin²B∈（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$），∴3-4sin²B∈（1，2），即$\frac{a}$∈（1，2），
故答案為：（ 1，2）．

點(diǎn)評 本題主要考查正弦定理和二倍角公式的應(yīng)用．正弦定理和余弦定理在解三角形中應(yīng)用比較多，這兩個(gè)定理和其推論一定要熟練掌握并能夠靈活運(yùn)用，屬于中檔題．