Question

15．如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是菱形，且∠ABC=60°，側面PAD是邊長為2的正三角形且與底面ABCD垂直．
（Ⅰ）求證：BC⊥PC；
（Ⅱ）線段PC上是否存在點M，使得二面角P-AD-M的平面角余弦值為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$？若存在，求出$\frac{PM}{PC}$的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AD中點O，連結OP，OC，以O為原點，OC為x軸，OD為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明BC⊥PC．
（Ⅱ）設M（a，b，c），由$\frac{PM}{PC}$=λ可得點M的坐標為M（$\sqrt{3}$λ，0，$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$λ），求出平面AMD的法向量和平面PAD的法向量，由此利用向量法能求出結果．

解答 （Ⅰ）證明：取AD中點O，連結OP，OC，
∵側面PAD是邊長為2的正三角形，且與底面垂直，
底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，
∴△ADC是等邊三角形，PO、AD、CO兩兩垂直，
以O為原點，OC為x軸，OD為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，
由題意得P（0，0，$\sqrt{3}$），C（$\sqrt{3}$，0，0），B（$\sqrt{3}$，-2，0），
$\overrightarrow{CB}$=（0，-2，0），$\overrightarrow{CP}$=（-$\sqrt{3}$，0，$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{CP}$=0，∴CB⊥CP．
（Ⅱ）解：假設存在符合要求的點M，令$\frac{PM}{PC}$=λ（0≤λ≤1），則$\overrightarrow{PM}$=λ$\overrightarrow{PC}$=λ（$\sqrt{3}$，0，-$\sqrt{3}$），可得M（$\sqrt{3}$λ，0，$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$λ），
∴$\overrightarrow{AM}$=（$\sqrt{3}$λ，1，$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$λ），$\overrightarrow{DM}$=（$\sqrt{3}$λ，-1，$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$λ），
設平面MAD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}λx+y+（\sqrt{3}-\sqrt{3}λ）z=0}\\{\sqrt{3}λx-y+（\sqrt{3}-\sqrt{3}λ）z=0}\end{array}\right.$，令z=λ，得$\overrightarrow{n}$=（λ-1，0，λ），
顯然平面PAD的一個法向量為$\overrightarrow{OC}$=（$\sqrt{3}$，0，0），
∵二面角P-AD-M的平面角余弦值為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴|$\frac{\sqrt{3}（λ-1）}{\sqrt{{λ}^{2}+（λ-1）^{2}}•\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴λ=$\frac{1}{3}$或λ=-1（舍去）
∴線段PC上存在點M，$\frac{PM}{PC}$=$\frac{1}{3}$時，使得二面角P-AD-M的平面角余弦值為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查空間線面關系、二面角P-AD-M的平面角余弦值等知識，考查數(shù)形結合、化歸與轉化的數(shù)學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力，正確運用向量法是關鍵．