Question

3．已知圓C過點(diǎn)A（1，2）和B（1，10），且與直線x-2y-1=0相切．
（1）求圓C的方程；
（2）設(shè)P為圓C上的任意一點(diǎn)，定點(diǎn)Q（-3，-6），當(dāng)點(diǎn)P在圓C上運(yùn)動時(shí)，求線段PQ中點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)所求圓的方程為（x-a）²+（y-6）²=r²，代入坐標(biāo)，可得圓心與半徑，即可求圓C的方程；
（2）分類討論，利用代入法，求線段PQ中點(diǎn)M的軌跡方程．

解答 解：（1）圓心顯然在線段AB的垂直平分線y=6上，設(shè)圓心為（a，6），半徑為r，則：
圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-a）²+（y-6）²=r²，
由點(diǎn)B在圓上得：（1-a）²+（10-6）²=r²，
又圓C與直線x-2y-1=0，有r=$\frac{|a-13|}{\sqrt{5}}$．
于是${（a-1）^2}+16=\frac{{{{（a-13）}^2}}}{5}$
解得：$a=3，r=2\sqrt{5}$，或$a=-7，r=4\sqrt{5}$
所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-3）²+（y-6）²=20，或（x+7）²+（y-6）²=80；
（2）設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），P點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），
由M為PQ的中點(diǎn)，則$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{{x_0}-3}}{2}\\ y=\frac{{{y_0}-6}}{2}\end{array}\right.$，即：$\left\{\begin{array}{l}{x_0}=2x+3\\{y_0}=2y+6\end{array}\right.$
又點(diǎn)P（x₀，y₀）在圓C上，
若圓的方程為（x-3）²+（y-6）²=20，有：${（{x_0}-3）^2}+{（{y_0}-6）^2}=20$，
則（2x+3-3）²+（2y+6-6）²=20，整理得：x²+y²=5
此時(shí)點(diǎn)M的軌跡方程為：x²+y²=5．
若圓的方程為（x+7）²+（y-6）²=80，有：${（{x_0}+7）^2}+{（{y_0}-6）^2}=80$，
則（2x+3+7）²+（2y+6-6）²=80，整理得：（x+5）²+y²=20
此時(shí)點(diǎn)M的軌跡方程為：（x+5）²+y²=20
綜上所述：點(diǎn)M的軌跡方程為x²+y²=5，或（x+5）²+y²=20．

點(diǎn)評 本題考查圓的方程，考查代入法的運(yùn)用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，確定坐標(biāo)之間的關(guān)系是關(guān)鍵．