Question

1．在橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞b＞0）$中，斜率為k（k＞0）的直線交橢圓于左頂點A和另一點B，點B在x軸上的射影恰好為右焦點F，若橢圓離心率$e=\frac{1}{3}$，則k的值為$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 把x=c代入橢圓的標準方程可得B$（c，\frac{^{2}}{a}）$，再利用斜率計算公式、離心率計算公式即可得出．

解答 解：A（-a，0），F(xiàn)（c，0）．
把x=c代入橢圓的標準方程可得：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，
解得y=±$\frac{^{2}}{a}$，取B$（c，\frac{^{2}}{a}）$，
則$\frac{\frac{^{2}}{a}-0}{c-（-a）}$=k，∴k=$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{ac+{a}^{2}}$=$\frac{a-c}{a}$=1-$\frac{c}{a}$=1-$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}$．
故答案為：$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交的位置關(guān)系、斜率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．