Question

3．已知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)${a_1}=\frac{1}{3}$，公比$q=\frac{1}{3}$的等比數(shù)列．設(shè)${b_n}=2{log_{\frac{1}{3}}}{a_n}-1$（n∈N^*）．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)c_n=a_n+b_2n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，代入${b_n}=2{log_{\frac{1}{3}}}{a_n}-1$可得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，由等差數(shù)列的定義證明數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列；
（Ⅱ）把數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式代入c_n=a_n+b_2n，分組后再由等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 （Ⅰ）證明：∵數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)${a_1}=\frac{1}{3}$，公比$q=\frac{1}{3}$的等比數(shù)列，
∴${a}_{n}=（\frac{1}{3}）^{n}$，則${b_n}=2{log_{\frac{1}{3}}}{a_n}-1$=$2lo{g}_{\frac{1}{3}}（\frac{1}{3}）^{n}-1=2n-1$．
∴b_n+1-b_n=[2（n+1）-1]-（2n-1）=2．
則數(shù)列{b_n}是以2為公差的等差數(shù)列；
（Ⅱ）解：c_n=a_n+b_2n=$（\frac{1}{3}）^{n}+（4n-1）$．
∴數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n=c₁+c₂+…+c_n=[$\frac{1}{3}+\frac{1}{{3}^{2}}+…+\frac{1}{{3}^{n}}$]+4（1+2+…+n）-n
=$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}+4•\frac{（n+1）n}{2}-n$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）+2{n}^{2}+n$=$2{n}^{2}+n+\frac{1}{2}-\frac{1}{2•{3}^{n}}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列遞推式，考查等差關(guān)系的確定，訓(xùn)練了數(shù)列的分組求和及等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題．