Question

13．已知定直線l：y=x+3，定點A（2，1），以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓C過點A且與l相切．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）橢圓的弦AP，AQ的中點分別為M，N，若MN平行于l，則OM，ON斜率之和是否為定值？若是定值，請求出該定值；若不是定值請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，m≠n），橢圓C過點A，所以4m+n①，
將y=x+3代入橢圓方程化簡得：（m+n）x²+6nx+9n-1=0，由△=（6n）²-4（m+n）（9n-1）=0②，…（4分）
 可得，$m=\frac{1}{6}，n=\frac{1}{3}$，即可得橢圓方程．
（Ⅱ）設(shè)點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），可知PQ∥MN，所以k_PQ=k_MN=1，
設(shè)直線PQ的方程為y=x+t，代入橢圓方程并化簡得：3x²+4tx+2t²-6=0
由題意可知$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=-\frac{4t}{3}\\{x_1}{x_2}=\frac{{2{t^2}-6}}{3}\end{array}\right.$，利用韋達定理可計算${k_{OM}}+{k_{ON}}=\frac{{2（2{t^2}-6）+（t+3）（-4t）+12t+12}}{{3{x_1}{x_2}+6（{x_1}+{x_2}）+12}}=\frac{0}{{3{x_1}{x_2}+6（{x_1}+{x_2}）+12}}=0$

解答 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，m≠n）
橢圓C過點A，所以4m+n①，…（2分）
將y=x+3代入橢圓方程化簡得：（m+n）x²+6nx+9n-1=0，
因為直線l與橢圓C相切，所以△=（6n）²-4（m+n）（9n-1）=0②，…（4分）
解①②可得，$m=\frac{1}{6}，n=\frac{1}{3}$，
所以橢圓方程為$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$；…（6分）
（Ⅱ）設(shè)點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則有$M（\frac{{{x_1}+2}}{2}，\frac{{{y_1}+1}}{2}），N（\frac{{{x_2}+2}}{2}，\frac{{{y_2}+1}}{2}）$，
由題意可知PQ∥MN，所以k_PQ=k_MN=1，設(shè)直線PQ的方程為y=x+t，
代入橢圓方程并化簡得：3x²+4tx+2t²-6=0
由題意可知$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=-\frac{4t}{3}\\{x_1}{x_2}=\frac{{2{t^2}-6}}{3}\end{array}\right.$③…（8分）${k_{OM}}+{k_{ON}}=\frac{{{y_1}+1}}{{{x_1}+2}}+\frac{{{y_2}+1}}{{{x_2}+2}}=\frac{{{x_1}+t+1}}{{{x_1}+2}}+\frac{{{x_2}+t+1}}{{{x_2}+2}}$
通分后可變形得到${k_{OM}}+{k_{ON}}=\frac{{2{x_1}{x_2}+（t+3）（{x_1}+{x_2}）+4t+4}}{{{x_1}{x_2}+2（{x_1}+{x_2}）+4}}$…（10分）
將③式代入分子${k_{OM}}+{k_{ON}}=\frac{{2（2{t^2}-6）+（t+3）（-4t）+12t+12}}{{3{x_1}{x_2}+6（{x_1}+{x_2}）+12}}=\frac{0}{{3{x_1}{x_2}+6（{x_1}+{x_2}）+12}}=0$
所以O(shè)M，ON斜率之和為定值0．…（12分）

點評 本題考查了橢圓的方程，橢圓與直線的位置關(guān)系，定值問題的處理方法，屬于中檔題．