Question

4．已知點P（0，-2），橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，F(xiàn)是橢圓E的右焦點，直線PF的斜率為2，O為坐標原點．
（1）求橢圓E的方程；
（2）直線l被圓O：x²+y²=3截得的弦長為3，且與橢圓E交于A、B兩點，求△AOB面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）橢圓離心率及直線的斜率公式求得a和b的值，即可求得橢圓的方程；
（2）分類，當直線的斜率不存在，求得丨AB丨，根據(jù)三角形的面積公式，求得△AOB面積，當直線的斜率存在時，由點到直線的距離公式求得${m^2}=\frac{3}{4}（{k^2}+1）$，將直線方程代入橢圓方程，由韋達定理，弦長公式及基本不等式的性質(zhì)，即可求得△AOB面積的最大值．

解答 解：（1）設F（c，0），由已知得，直線PF的斜率k=$\frac{2}{c}=2$，得c=1，又$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
則$a=\sqrt{2}$，b=1，
故橢圓E的方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$…（3分）
（2）記點O到直線l的距離為d，則$d=\sqrt{{r^2}-{{（\frac{3}{2}）}^2}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
①當直線l與y軸平行時，直線l的方程為$x=±\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，易求$|AB|=\frac{{\sqrt{10}}}{2}$，
∴${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}|AB|d=\frac{{\sqrt{30}}}{8}$，…（4分）
②當直線l與y軸不平行時，設直線l的方程為y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由已知得$d=\frac{|m|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，∴${m^2}=\frac{3}{4}（{k^2}+1）$，．…（5分）
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{x^2}{2}+{y^2}=1\end{array}\right.$得（2k²+1）x²+4kmx+2（m²-1）=0，又△=10k²+2＞0，
∴${x_1}+{x_2}=-\frac{4km}{{2{k^2}+1}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{2（{m^2}-1）}}{{2{k^2}+1}}$，…（6分）
∴$|AB|=\sqrt{1+{k^2}}|{x_1}-{x_2}|=\frac{{\sqrt{2（1+{k^2}）（5{k^2}+1）}}}{{2{k^2}+1}}$，…（7分）
${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}|AB|d=\frac{{\sqrt{3}}}{4}|AB|=\frac{{\sqrt{3}}}{4}×\frac{{\sqrt{2（1+{k^2}）（5{k^2}+1）}}}{{2{k^2}+1}}=\frac{{\sqrt{2}}}{4}×\frac{{\sqrt{3（1+{k^2}）（5{k^2}+1）}}}{{2{k^2}+1}}$，
$≤\frac{{\sqrt{2}}}{4}×\frac{{\frac{1}{2}（3+3{k^2}+5{k^2}+1）}}{{2{k^2}+1}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，當且僅當k=±1時取等號，…（9分）
綜上當k=±1時，△AOB面積的最大值為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$…（10分）

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，韋達定理，弦長公式及基本不等式的應用，考查計算能力，屬于中檔題．