Question

19．過曲線C₁：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞0\;，\;b＞0）$的左焦點F₁作曲線C₂：x²+y²=a²的切線，設切點為M，延長F₁M交曲線C₃：y²=2px（p＞0）于點N，其中C₁、C₃有一個共同的焦點，若|MF₁|=|MN|，則曲線C₁的離心率為$\frac{{\sqrt{5}\;+1}}{2}$．

Answer 1

分析 由題意可知根據(jù)根據(jù)三角形相似，求得$\frac{丨{F}_{1}O丨}{丨{F}_{1}N丨}$=$\frac{丨{F}_{1}M丨}{丨AN丨}$，即b²=ac，則c²-a²-ac=0，由雙曲線的離心率公式，即可求得雙曲線的離心率．

解答 解：設雙曲線C₁的右焦點F₂，作NA⊥拋物線C₂的準線于點A，
則易得：丨NF₁丨=2丨MF₁丨=2b，丨NF₂丨=2丨MO丨=2a=丨AN丨，
由Rt△F₁MO～Rt△NAF₁，則$\frac{丨{F}_{1}O丨}{丨{F}_{1}N丨}$=$\frac{丨{F}_{1}M丨}{丨AN丨}$，
∴$\frac{c}{2b}=\frac{2a}$，
∴b²=ac，則c²-a²-ac=0，由e=$\frac{c}{a}$，則e²-e-1=0，e＞1
∴$e=\frac{{\sqrt{5}\;+1}}{2}$．
曲線C₁的離心率$\frac{{\sqrt{5}\;+1}}{2}$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{5}\;+1}}{2}$．

點評 本題考查雙曲線的簡單幾何性質，考查直線與雙曲線的位置關系，相似三角形的性質，中位線定理，考查計算能力，屬于中檔題．