Question

8．對(duì)正整數(shù)n，設(shè)曲線(xiàn)y=（2-x）xⁿ在x=3處的切線(xiàn)與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為a_n，則數(shù)列$\left\{{\frac{a_n}{n+2}}\right\}$的前n項(xiàng)和等于$\frac{{{3^{n+1}}-3}}{2}$．

Answer 1

分析 先求出x=3時(shí)曲線(xiàn)表示函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而可知切線(xiàn)方程，令x=0進(jìn)而求得數(shù)列$\left\{{\frac{a_n}{n+2}}\right\}$的通項(xiàng)公式，再由等比數(shù)列的求和公式，求得答案．

解答 解：∵y=（2-x）xⁿ的導(dǎo)數(shù)為y′=-xⁿ+n（2-x）x^n-1，
y'|_x=3=-3ⁿ-n•3^n-1=-3^n-1（n+3），
∴切線(xiàn)方程為：y+3ⁿ=-3^n-1（n+3）（x-3），
令x=0，切線(xiàn)與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為a_n=（n+2）•3ⁿ，
所以$\frac{{a}_{n}}{n+2}$=3ⁿ，
則數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n+2}$}的前n項(xiàng)和S_n=$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$=$\frac{{3}^{n+1}-3}{2}$．
故答案為：$\frac{{{3^{n+1}}-3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了數(shù)列的求和問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線(xiàn)的方程，正確求導(dǎo)和運(yùn)用點(diǎn)斜式方程，運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．