Question

17．一個棱長為$6\sqrt{2}$的正四面體紙盒內(nèi)放一個正方體，若正方體可以在紙盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，則正方體棱長的最大值為（　�。�

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 在一個棱長為6$\sqrt{2}$的正四面體紙盒內(nèi)放一個正方體，并且能使正方體在紙盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，說明正方體在正四面體的內(nèi)切球內(nèi)，求出內(nèi)切球的直徑，就是正方體的對角線的長，然后求出正方體的棱長．

解答 解：設(shè)球的半徑為r，由正四面體的體積得：
4×$\frac{1}{3}×r×（6\sqrt{2}）^{2}$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×（6\sqrt{2}）^{2}×\sqrt{（6\sqrt{2}）^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{3}×6\sqrt{2}）^{2}}$，
解得r=$\sqrt{3}$，
設(shè)正方體的最大棱長為a，
∴3a²=（2$\sqrt{3}$）²，解得a=2．
故選：C．

點評 本題是中檔題，考查正四面體的內(nèi)接球的知識，球的內(nèi)接正方體的棱長的求法，考查空間想象能力，轉(zhuǎn)化思想，計算能力．