Question

16．已知遞增數(shù)列{a_n}，a₁=2，其前n項(xiàng)和為S_n，且滿足${a_n}^2+2=3（{S_n}+{S_{n-1}}）（n≥2）$．
（1）求a₂的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）若數(shù)列{b_n}滿足${log_2}\frac{b_n}{a_n}=n$，求其前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由a₁=2，且滿足${a_n}^2+2=3（{S_n}+{S_{n-1}}）（n≥2）$．n=2時(shí)，即可得出．
（2）由${a_n}^2+2=3（{S_n}+{S_{n-1}}）（n≥2）$得，${a_{n+1}}^2+2=3（{S_{n+1}}+{S_n}）$，可得${a_{n+1}}^2-{a_n}^2=3（{S_{n+1}}-{S_{n-1}}）$，即${a_{n+1}}^2-{a_n}^2=3（{a_{n+1}}+{a_n}）$，
化為a_n+1-a_n=3（n≥2）．再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（3）數(shù)列{b_n}滿足${log_2}\frac{b_n}{a_n}=n$，可得$\frac{b_n}{a_n}={2^n}$，即${b_n}=（3n-1）•{2^n}$，再利用錯(cuò)位相減法、等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）當(dāng)n=2時(shí)，${a_2}^2+2=3（{S_2}+{S_1}）$，所以${a_2}^2+2=3（{a_2}+2{a_1}）$，即${a_2}^2-3{a_2}-10=0$，
依題意得，a₂=5或a₂=-2（舍去）；…（2分）
（2）由${a_n}^2+2=3（{S_n}+{S_{n-1}}）（n≥2）$得，${a_{n+1}}^2+2=3（{S_{n+1}}+{S_n}）$…（3分）
可得${a_{n+1}}^2-{a_n}^2=3（{S_{n+1}}-{S_{n-1}}）$，即${a_{n+1}}^2-{a_n}^2=3（{a_{n+1}}+{a_n}）$…（4分）
由遞增數(shù)列{a_n}，a₁=2，可得a_n+1-a_n=3（n≥2）．又因?yàn)閍₂-a₁=3…（5分）
所以數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列，即a_n=2+3（n-1）=3n-1．…（6分）
上式對(duì)n=1也成立，故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=3n-1．…（7分）
（3）數(shù)列{b_n}滿足${log_2}\frac{b_n}{a_n}=n$，可得$\frac{b_n}{a_n}={2^n}$，即${b_n}=（3n-1）•{2^n}$，…（8分）
前n項(xiàng)和${T_n}=2•{2^1}+5•{2^2}+8•{2^3}+…+（3n-4）•{2^{n-1}}+（3n-1）•{2^n}$，
2T_n=2×2²+5×2³+…+（3n-4）•2ⁿ+（3n-1）•2ⁿ⁺¹．…9分
兩式相減可得，$-{T_n}=2•{2^1}+（3•{2^2}+3•{2^3}+…+3•{2^n}）-（3n-1）•{2^{n+1}}$…（10分）$-{T_n}=4+\frac{{12（1-{2^{n-1}}）}}{1-2}-（3n-1）•{2^{n+1}}$=3•2ⁿ⁺¹-（3n-1）•2ⁿ⁺¹-8，…（11分）
化簡(jiǎn)可得，${T_n}=8+（3n-4）•{2^{n+1}}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、錯(cuò)位相減法、等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．