Question

19．在如圖所示的空間幾何體中，EC⊥平面ABCD，四邊形ABCD是菱形，CE∥BF，且CE=2BF，G，H，P分別為AF，DE，AE的中點(diǎn)．求證：
（Ⅰ）GH∥平面BCEF；
（Ⅱ）FP⊥平面ACE．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取EC中點(diǎn)M，F(xiàn)B中點(diǎn)N，連接HM，GN，證明HMNG是平行四邊形，可得GH∥MN，即可證明GH∥平面BCEF；
（Ⅱ）連接BD，與AC，交于O，連接OP，則OP平行且等于FB，證明BO⊥平面ACE，即可證明FP⊥平面ACE．

解答 證明：（Ⅰ）取EC中點(diǎn)M，F(xiàn)B中點(diǎn)N，連接HM，GN．則HM平行且等于$\frac{1}{2}$DC，GN平行且等于$\frac{1}{2}$AB，
∵AB∥CD，∴HM平行且等于GN，
∴HMNG是平行四邊形，
∴GH∥MN，
∵GH?平面BCEF，MN?平面BCEF，
∴GH∥平面BCEF；
（Ⅱ）連接BD，與AC，交于O，連接OP，則OP平行且等于FB，
∴PFBO是平行四邊形，
∴PF∥BO，
∵BO⊥AC，BO⊥PC，AC∩PC=C，
∴BO⊥平面ACE，
∴FP⊥平面ACE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行、線面垂直的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．