Question

18．已知P，A，B，C是球O球面上的四點，△ABC是正三角形，三棱錐P-ABC的體積為$\frac{9\sqrt{3}}{4}$，且∠APO=∠BPO=∠CPO=30°，則球O的表面積為（　�。�

• A． 4π
• B． $\frac{32}{3}$π
• C． 16π
• D． 12π

Answer 1

分析 設(shè)△ABC的中心為S，球O的半徑為R，△ABC的邊長為2a，由已知條件推導(dǎo)出a=$\frac{3}{4}$R，再由三棱錐P-ABC的體積為$\frac{9\sqrt{3}}{4}$，求出R=2，由此能求出球O的表面積．

解答 解：如圖，P，A，B，C是球O球面上四點，△ABC是正三角形，
設(shè)△ABC的中心為S，球O的半徑為R，△ABC的邊長為2a，
∵∠APO=∠BPO=∠CPO=30°，
OB=OP=R，
∴OS=$\frac{R}{2}$，BS=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，
∴$\frac{2\sqrt{3}}{3}a$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，解得a=$\frac{3}{4}$R，2a=$\frac{3}{2}$R，
∵三棱錐P-ABC的體積為 $\frac{9\sqrt{3}}{4}$，∴$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$R×$\frac{3}{2}$Rsin60°×$\frac{3}{2}$R=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$，
解得R=2，
∴球O的表面積S=4πR²=16π．
故選：C．

點評 本題考查球的表面積的求法，是中檔題，解題時確定球O的半徑是關(guān)鍵．